Plote os seguintes cones:
z^2=5 x^2+7 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para plotarmos o cone dado pela equação . Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, especificamente cones. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa equação representa um cone e como podemos desenhá-lo no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor o tipo de cone que temos. A equação geral de um cone centrado na origem é , onde e são constantes que determinam a largura do cone nas direções e .

Passo 3

No nosso caso, a equação é . Aqui, e . Isso significa que o cone tem diferentes taxas de expansão ao longo dos eixos e . Em outras palavras, o cone será mais “estreito” em uma direção do que na outra.

Passo 4

Para plotar o cone, podemos resolver a equação para z = pm raiz5x^2 + 7y^2 em função de e . Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
Isso nos dá duas “metades” do cone: uma para e outra para .

Passo 5

Agora, vamos pensar em como representar isso graficamente. Para cada par de valores , calculamos usando a fórmula acima. Isso nos dará os pontos que formam a superfície do cone. Vamos escolher alguns valores para e , calcular , e então plotar esses pontos no espaço tridimensional.

Passo 6

Podemos também notar que, se fixarmos um valor de , a equação representa uma elipse no plano . Isso significa que, à medida que aumenta, a elipse se expande, formando a superfície do cone.

Passo 7

Para facilitar a plotagem, podemos utilizar ferramentas como software de matemática (por exemplo, GeoGebra, MATLAB ou Python com Matplotlib). Vamos usar uma dessas ferramentas para criar uma grade de valores e , calcular para cada ponto, e então desenhar o cone.

Passo 8

Por exemplo, usando Python com Matplotlib, o código seria algo assim:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Criando uma grade de valores para x e y
x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = np.linspace(-10, 10, 400)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z_positive = np.sqrt(5*X**2 + 7*Y**2)
Z_negative = -np.sqrt(5*X**2 + 7*Y**2)

# Plotando o cone
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z_positive, alpha=0.5, rstride=100, cstride=100)
ax.plot_surface(X, Y, Z_negative, alpha=0.5, rstride=100, cstride=100)
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.show()

Resposta

Seguindo esses passos, você conseguirá plotar o cone definido pela equação no espaço tridimensional, visualizando suas duas metades simétricas em relação ao plano .

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