Plote os seguintes paraboloides:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para plotar o paraboloide definido pela equação
. Aqui, estamos trabalhando com gráficos em 3D e usando conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre superfícies quadráticas chamadas paraboloides. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação para identificar melhor a forma do paraboloide e depois traçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o desenho. Olhando para
, percebemos que podemos completar o quadrado com relação à variável
. Completar o quadrado nos ajuda a reescrever a equação de uma forma mais reconhecível.
Para completar o quadrado em
:
Então, substituindo de volta na equação original:
Passo 3
Agora, a equação está na forma:
Isso nos mostra que o paraboloide está centrado no ponto
. A forma geral
representa um paraboloide que se abre para cima se os coeficientes de
e
são positivos, o que é o nosso caso. Isso significa que o gráfico será uma superfície curva que se abre na direção positiva do eixo
.
Passo 4
Para plotar o paraboloide, podemos seguir estes passos:
-
Identificar o vértice: A partir da forma
, vemos que o vértice está em . -
Determinar a direção de abertura: Como os termos quadráticos são positivos, o paraboloide se abre para cima.
-
Traçar cortes ou seções: Podemos traçar seções no plano
para diferentes valores de . Por exemplo: - Para
: Isso é um círculo de raio 1 centrado em no plano . - Para
: Um círculo de raio no plano . - E assim por diante para outros valores de
.
- Para
-
Desenhar o gráfico: Usando os círculos obtidos para diferentes valores de
, podemos desenhar o paraboloide, criando uma superfície lisa que conecta todas essas seções circulares, abrindo para cima a partir do vértice.
Resposta
O gráfico do paraboloide
é uma superfície curva que se abre para cima, com vértice no ponto
. Ela pode ser visualizada como uma “tigela” que se expande indefinidamente na direção positiva do eixo
.