Plote os seguintes paraboloides:
z=x^2-2 x+y^2

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para plotar o paraboloide definido pela equação . Aqui, estamos trabalhando com gráficos em 3D e usando conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre superfícies quadráticas chamadas paraboloides. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação para identificar melhor a forma do paraboloide e depois traçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o desenho. Olhando para x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 , percebemos que podemos completar o quadrado com relação à variável z = (x - 1)^2 - 1 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2 - 1 . Completar o quadrado nos ajuda a reescrever a equação de uma forma mais reconhecível.
Para completar o quadrado em :
Então, substituindo de volta na equação original:

Passo 3

Agora, a equação está na forma:
z = (x - 1)^2 + y^2 - 1
Isso nos mostra que o paraboloide está centrado no ponto . A forma geral representa um paraboloide que se abre para cima se os coeficientes de e são positivos, o que é o nosso caso. Isso significa que o gráfico será uma superfície curva que se abre na direção positiva do eixo .

Passo 4

Para plotar o paraboloide, podemos seguir estes passos:
  1. Identificar o vértice: A partir da forma 0 = (x - 1)^2 + y^2 - 1 implies (x - 1)^2 + y^2 = 1 , vemos que o vértice está em 1 = (x - 1)^2 + y^2 - 1 implies (x - 1)^2 + y^2 = 2 .
  2. Determinar a direção de abertura: Como os termos quadráticos são positivos, o paraboloide se abre para cima.
  3. Traçar cortes ou seções: Podemos traçar seções no plano para diferentes valores de . Por exemplo:
    • Para : Isso é um círculo de raio 1 centrado em no plano .
    • Para : Um círculo de raio no plano .
    • E assim por diante para outros valores de .
  4. Desenhar o gráfico: Usando os círculos obtidos para diferentes valores de , podemos desenhar o paraboloide, criando uma superfície lisa que conecta todas essas seções circulares, abrindo para cima a partir do vértice.

Resposta

O gráfico do paraboloide é uma superfície curva que se abre para cima, com vértice no ponto . Ela pode ser visualizada como uma “tigela” que se expande indefinidamente na direção positiva do eixo .

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