(1,0 pontos) Dados os vetores
e
e
demonstre que o
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos os vetores
,
e um escalar
. A tarefa é mostrar que
(o conjunto de todos os vetores com duas componentes reais) é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se
satisfaz todas elas usando os vetores e o escalar dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde se pode fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Além disso, esse conjunto precisa satisfazer certos axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação, existência de um vetor zero, existência de vetores opostos, associatividade, comutatividade da adição, entre outros.
Passo 3
Vamos verificar se
satisfaz o fechamento sob adição. Pegamos nossos vetores
e
e somamos:
O vetor resultante
também está em
, então está fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Vamos multiplicar o vetor
pelo escalar
:
O vetor resultante
também está em
, então está fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Além disso, precisamos verificar outros axiomas, como a existência do vetor zero e dos vetores opostos. O vetor zero em
é
, que claramente está no espaço. Para todo vetor
, seu oposto é
, que também está em
.
Passo 6
Os axiomas de associatividade e comutatividade da adição, bem como a distributividade da multiplicação por escalar, também são facilmente verificáveis em
devido à definição padrão das operações de adição e multiplicação de vetores.
Resposta
Portanto, verificando todas as propriedades necessárias, concluímos que
é, de fato, um espaço vetorial.