(1,0 pontos) Dados os vetores u=(6,2) e v=(2,-2) e alpha=3 demonstre que o R^2 é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos os vetores , e um escalar . A tarefa é mostrar que (o conjunto de todos os vetores com duas componentes reais) é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se satisfaz todas elas usando os vetores e o escalar dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde se pode fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Além disso, esse conjunto precisa satisfazer certos axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação, existência de um vetor zero, existência de vetores opostos, associatividade, comutatividade da adição, entre outros.

Passo 3

Vamos verificar se u + v = (6 + 2, 2 + (-2)) = (8, 0) satisfaz o fechamento sob adição. Pegamos nossos vetores e e somamos:
O vetor resultante também está em , então está fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Vamos multiplicar o vetor alpha u = 3 times (6, 2) = (18, 6) pelo escalar :
O vetor resultante também está em , então está fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Além disso, precisamos verificar outros axiomas, como a existência do vetor zero e dos vetores opostos. O vetor zero em é , que claramente está no espaço. Para todo vetor , seu oposto é , que também está em .

Passo 6

Os axiomas de associatividade e comutatividade da adição, bem como a distributividade da multiplicação por escalar, também são facilmente verificáveis em devido à definição padrão das operações de adição e multiplicação de vetores.

Resposta

Portanto, verificando todas as propriedades necessárias, concluímos que é, de fato, um espaço vetorial.

Exercícios relacionados