Plote as seguintes elipses:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente plotar a elipse representada pela equação
. Vamos usar Geometria Analítica, mais especificamente a parte de conic section que fala sobre elipses. Para isso, precisaremos completar o quadrado nos termos de
e
para colocar a equação na forma padrão da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e os de
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
individualmente. Completar o quadrado ajuda a transformar a equação geral em uma forma que facilita identificar o centro, os eixos e outras características da elipse.
Passo 3
Começando com os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
(que é 2), dividimos por 2 (ficando 1) e elevamos ao quadrado (resultando em 1). Assim, adicionamos e subtraímos 1:
Fazemos o mesmo para os termos de
:
Pegando o coeficiente de
(-2), dividimos por 2 (ficando -1) e elevamos ao quadrado (resultando em 1). Adicionamos e subtraímos 1:
Passo 4
Substituindo esses resultados de volta na equação original:
Simplificando:
Agora, somamos 2 dos dois lados:
Passo 5
Pronto! Agora a equação está na forma padrão da elipse:
Isso nos mostra que a elipse tem centro no ponto
, e os semi-eixos de comprimento 2 ao longo dos eixos
e
.
Resposta
A elipse definida pela equação
tem centro em
e semi-eixos de comprimento 2. Para plotar, desenhe uma elipse centrada nesse ponto, estendendo 2 unidades para a direita e esquerda no eixo
, e 2 unidades para cima e baixo no eixo
.
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Use a transformada de Laplace para encontrar a solução
do problema dado.
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Plote as seguintes retas:
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