Plote as seguintes elipses:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente plotar a elipse representada pela equação . Vamos usar Geometria Analítica, mais especificamente a parte de conic section que fala sobre elipses. Para isso, precisaremos completar o quadrado nos termos de e para colocar a equação na forma padrão da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e os de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e individualmente. Completar o quadrado ajuda a transformar a equação geral em uma forma que facilita identificar o centro, os eixos e outras características da elipse.

Passo 3

Começando com os termos de :
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de (que é 2), dividimos por 2 (ficando 1) e elevamos ao quadrado (resultando em 1). Assim, adicionamos e subtraímos 1:
Fazemos o mesmo para os termos de :
Pegando o coeficiente de (-2), dividimos por 2 (ficando -1) e elevamos ao quadrado (resultando em 1). Adicionamos e subtraímos 1:

Passo 4

Substituindo esses resultados de volta na equação original:
Simplificando:
Agora, somamos 2 dos dois lados:

Passo 5

Pronto! Agora a equação está na forma padrão da elipse:
Isso nos mostra que a elipse tem centro no ponto , e os semi-eixos de comprimento 2 ao longo dos eixos e .

Resposta

A elipse definida pela equação tem centro em e semi-eixos de comprimento 2. Para plotar, desenhe uma elipse centrada nesse ponto, estendendo 2 unidades para a direita e esquerda no eixo , e 2 unidades para cima e baixo no eixo .

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