Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do problema dado. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá a equação com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e depois resolver para , que é a transformada de . No final, vamos usar a transformada inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é e de é . Aplicando na equação:

Passo 3

Substituímos as transformadas das derivadas e simplificamos:
Aqui, usamos que .

Passo 4

Vamos distribuir e juntar os termos com :
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Fatoramos e isolamos:
Agora, resolvemos para :

Passo 6

Vamos simplificar decompondo em frações parciais. Fatorando o denominador:
Então:
Agora, decompondo cada fração e aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos .

Resposta

Após simplificar e aplicar a transformada inversa de Laplace, a solução da equação diferencial é:

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