Use a transformada de Laplace para encontrar a solução
do problema dado.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá a equação
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e depois resolver para
, que é a transformada de
. No final, vamos usar a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
e de
é
. Aplicando na equação:
Passo 3
Substituímos as transformadas das derivadas e simplificamos:
Aqui, usamos que
.
Passo 4
Vamos distribuir e juntar os termos com
:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Fatoramos
e isolamos:
Agora, resolvemos para
:
Passo 6
Vamos simplificar
decompondo em frações parciais. Fatorando o denominador:
Então:
Agora, decompondo cada fração e aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos
.
Resposta
Após simplificar e aplicar a transformada inversa de Laplace, a solução da equação diferencial é:
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C é o triângulo com vértices
e
Plote as seguintes elipses:
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