Plote os seguintes paraboloides:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa plottar o paraboloide dado pela equação
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadricas como os paraboloides. Precisaremos entender como a equação representa a forma tridimensional do paraboloide e identificar suas principais características para desenhá-lo corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Essa é a forma padrão de um paraboloide elíptico. Isso significa que o paraboloide abre para cima (pois os coeficientes de
e
são positivos) e tem uma curvatura diferente nas direções de
e
por causa dos coeficientes 2 e 1, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar o vértice do paraboloide. O vértice é o ponto mais baixo da superfície (já que ela abre para cima). Na equação, o termo constante é +2, então o vértice está no ponto (0, 0, 2). Isso significa que o paraboloide está deslocado 2 unidades para cima no eixo
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar algumas seções transversais para entender melhor a forma do paraboloide:
- Seção pelo plano
: Substituindo na equação, temos . Isso é uma parábola que abre para cima no plano . - Seção pelo plano
: Substituindo , temos . Outra parábola abrindo para cima, mas no plano . - Seção pelo plano
(constante): Resolvendo para , temos . Isso representa uma elipse para .
Passo 5
Com essas informações, podemos esboçar o paraboloide:
- Marque o vértice em (0, 0, 2).
- Trace as parábolas nas seções
e , que nos dão uma ideia da curvatura em cada direção. - Desenhe algumas elipses para diferentes valores de
para ver como o paraboloide se expande à medida que aumenta. - Unifique essas curvas para formar a superfície arredondada do paraboloide que abre para cima.
Resposta
Pronto! Com os passos acima, você consegue plottar o paraboloide
. Lembre-se de começar pelo vértice, traçar as parábolas nas direções de
e
, e adicionar as elipses para diferentes alturas
para visualizar a forma completa do paraboloide.