Plote os seguintes paraboloides:
z=2 x^2+y^2+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa plottar o paraboloide dado pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadricas como os paraboloides. Precisaremos entender como a equação representa a forma tridimensional do paraboloide e identificar suas principais características para desenhá-lo corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Essa é a forma padrão de um paraboloide elíptico. Isso significa que o paraboloide abre para cima (pois os coeficientes de e são positivos) e tem uma curvatura diferente nas direções de e por causa dos coeficientes 2 e 1, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar o vértice do paraboloide. O vértice é o ponto mais baixo da superfície (já que ela abre para cima). Na equação, o termo constante é +2, então o vértice está no ponto (0, 0, 2). Isso significa que o paraboloide está deslocado 2 unidades para cima no eixo .

Passo 4

Agora, vamos encontrar algumas seções transversais para entender melhor a forma do paraboloide:
  • Seção pelo plano : Substituindo na equação, temos . Isso é uma parábola que abre para cima no plano .
  • Seção pelo plano : Substituindo , temos . Outra parábola abrindo para cima, mas no plano .
  • Seção pelo plano (constante): Resolvendo para , temos . Isso representa uma elipse para .

Passo 5

Com essas informações, podemos esboçar o paraboloide:
  1. Marque o vértice em (0, 0, 2).
  2. Trace as parábolas nas seções e , que nos dão uma ideia da curvatura em cada direção.
  3. Desenhe algumas elipses para diferentes valores de para ver como o paraboloide se expande à medida que aumenta.
  4. Unifique essas curvas para formar a superfície arredondada do paraboloide que abre para cima.

Resposta

Pronto! Com os passos acima, você consegue plottar o paraboloide . Lembre-se de começar pelo vértice, traçar as parábolas nas direções de e , e adicionar as elipses para diferentes alturas para visualizar a forma completa do paraboloide.

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