(2,5 pontos) Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por
,
e
Seja
e a
Determine
(a) o vetor nulo
(b)
e
dado
e
© Demonstre se é um espaço vetorial e, caso não seja, quais dentre os oito axiomas não são validados?
Seja
Determine
(a) o vetor nulo
(b)
© Demonstre se é um espaço vetorial e, caso não seja, quais dentre os oito axiomas não são validados?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem que trabalhar com pares ordenados de números reais, ou seja, vetores no plano. As operações de adição e multiplicação por escalar estão meio diferentes do usual, então vamos precisar entender como elas funcionam aqui. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Determinar o vetor nulo
Primeiro, precisamos encontrar o vetor nulo, que é aquele que, quando somado a qualquer vetor, não muda o vetor original. Matematicamente, para um vetor qualquer u = (x₁, y₁), o vetor nulo z deve satisfazer:
Usando a definição da adição dada no problema:
Para que isso seja igual a
, precisamos que:
Resolvendo essas equações:
Então, o vetor nulo é:
Passo 3
Parte (b): Calcular
e
Dado:
Calculando
:
Usando a definição da adição:
Calculando
:
Usando a definição da multiplicação por escalar:
Passo 4
Parte ©: Verificar se é um espaço vetorial
Para ser um espaço vetorial, as operações de adição e multiplicação por escalar devem satisfazer oito axiomas. Vamos verificar quais não são atendidos:
- Fechamento da adição: Ok, somando dois vetores dá outro vetor em
. - Comutatividade da adição:
Na verdade, parece comutativo, mas dado que a adição é simétrica, mantém-se ok. - Associatividade da adição:
Os termos constantes somam de forma diferente, quebrando a associatividade. - Existência do vetor nulo: Temos o vetor nulo
. - Existência de inversos aditivos:
Para cada, deve existir tal que . No entanto: Não é possível, então não há inversos aditivos. - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
A definição deestá causando problemas com os axiomas. - Distribuição escalar com relação à adição vetorial:
Não é atendido devido à definição de adição. - Distribuição escalar com relação à adição de escalares:
Também é quebrado pelas definições dadas.
Portanto, vários axiomas não são satisfeitos.
Resposta
(a) O vetor nulo é
.
(b)
e
.
© Não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são validados incluem a associatividade da adição, a existência de inversos aditivos e as propriedades de distribuição da multiplicação por escalar.