(2,5 pontos) Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por u=(x1, y1) e v=(x2, y2)
Seja u+v=(x1+x2+3, y1+y2+4) e a alpha u=(alpha^2 x1, alpha^2 x2)
Determine
(a) o vetor nulo
(b) u+v e alpha v dado u=(6,2), v=(-3,-2) e alpha=-2
© Demonstre se é um espaço vetorial e, caso não seja, quais dentre os oito axiomas não são validados?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem que trabalhar com pares ordenados de números reais, ou seja, vetores no plano. As operações de adição e multiplicação por escalar estão meio diferentes do usual, então vamos precisar entender como elas funcionam aqui. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Determinar o vetor nulo

Primeiro, precisamos encontrar o vetor nulo, que é aquele que, quando somado a qualquer vetor, não muda o vetor original. Matematicamente, para um vetor qualquer u = (x₁, y₁), o vetor nulo z deve satisfazer:
u + z = u
Usando a definição da adição dada no problema:
u + z = (x₁ + zx + 3, y₁ + zy + 4)
Para que isso seja igual a x₁ + zx + 3 = x₁ e y₁ + zy + 4 = y₁ , precisamos que:
zx + 3 = 0 Rightarrow zx = -3
Resolvendo essas equações:
zy + 4 = 0 Rightarrow zy = -4
z = (-3, -4)
Então, o vetor nulo é:

Passo 3

Parte (b): Calcular u = (6, 2), v = (-3, -2), alpha = -2 e u + v = (6 + (-3) + 3, 2 + (-2) + 4) = (6, 4)

Dado:
alpha v = ((-2)^2 cdot (-3), (-2)^2 cdot (-2)) = (4 cdot (-3), 4 cdot (-2)) = (-12, -8)
Calculando :
Usando a definição da adição:
Calculando :
Usando a definição da multiplicação por escalar:

Passo 4

Parte ©: Verificar se é um espaço vetorial

Para ser um espaço vetorial, as operações de adição e multiplicação por escalar devem satisfazer oito axiomas. Vamos verificar quais não são atendidos:
  1. Fechamento da adição: Ok, somando dois vetores dá outro vetor em u + v = (x₁ + x₂ + 3, y₁ + y₂ +4) neq v + u = (x₂ + x₁ + 3, y₂ + y₁ +4) .
  2. Comutatividade da adição: (u + v) + w neq u + (v + w) Na verdade, parece comutativo, mas dado que a adição é simétrica, mantém-se ok.
  3. Associatividade da adição: (x₁ + (-x₁) + 3, y₁ + (-y₁) +4) = (3, 4) neq (-3, -4) Os termos constantes somam de forma diferente, quebrando a associatividade.
  4. Existência do vetor nulo: Temos o vetor nulo .
  5. Existência de inversos aditivos:
    Para cada , deve existir tal que . No entanto: Não é possível, então não há inversos aditivos.
  6. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
    A definição de está causando problemas com os axiomas.
  7. Distribuição escalar com relação à adição vetorial:
    Não é atendido devido à definição de adição.
  8. Distribuição escalar com relação à adição de escalares:
    Também é quebrado pelas definições dadas.
Portanto, vários axiomas não são satisfeitos.

Resposta

(a) O vetor nulo é .
(b) e .
© Não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são validados incluem a associatividade da adição, a existência de inversos aditivos e as propriedades de distribuição da multiplicação por escalar.

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