(1,5 pontos) Verifique se os vetores e podem ser uma base do
b) ( 1,0 ponto extra) Em caso afirmativo, como cles geram a base?
c) Seja verifique se pode ser base de
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre bases em . Precisamos verificar se certos conjuntos de vetores podem formar uma base, ou seja, se eles são linicamente independentes e conseguem gerar todo o espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes e independência linear.
Passo 2
Parte a: Queremos verificar se os vetores , e podem formar uma base de .
Para isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
A matriz fica assim:
Calculando o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .
Passo 3
Parte b: Como esses vetores geram a base?
Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que qualquer vetor em x = alpha u + beta v + gamma w pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Portanto, os vetores , e geram a base de porque qualquer vetor pode ser expresso como:
Onde , e são escalares que podemos determinar resolvendo o sistema linear formado pelos componentes dos vetores.
Passo 4
Parte c: Agora, vamos verificar se o conjunto B = 1 & 1 & 4 1 & 3 & 9 0 & 2 & 5 pode ser uma base de det(B) = 1 cdot (3 cdot 5 - 9 cdot 2) - 1 cdot (1 cdot 5 - 9 cdot 0) + 4 cdot (1 cdot 2 - 3 cdot 0) .
Novamente, montamos a matriz com esses vetores como colunas: