(1,5 pontos) Verifique se os vetores u=(1,2,3), v=(2,-2,3) e w=(1,3,7) podem ser uma base do R^3
b) ( 1,0 ponto extra) Em caso afirmativo, como cles geram a base?
c) Seja B=(1,1,0),(1,3,2),(4,9,5) verifique se pode ser base de R^3

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre bases em . Precisamos verificar se certos conjuntos de vetores podem formar uma base, ou seja, se eles são linicamente independentes e conseguem gerar todo o espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes e independência linear.

Passo 2

Parte a: Queremos verificar se os vetores A = 1 & 2 & 1 2 & -2 & 3 3 & 3 & 7 , det(A) = 1 cdot (-2 cdot 7 - 3 cdot 3) - 2 cdot (2 cdot 7 - 3 cdot 3) + 1 cdot (2 cdot 3 - (-2) cdot 3) e det(A) = 1 cdot (-14 - 9) - 2 cdot (14 - 9) + 1 cdot (6 + 6) podem formar uma base de det(A) = 1 cdot (-23) - 2 cdot 5 + 1 cdot 12 = -23 - 10 + 12 = -21 .
Para isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
A matriz fica assim:
Calculando o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .

Passo 3

Parte b: Como esses vetores geram a base?
Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que qualquer vetor em x = alpha u + beta v + gamma w pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Portanto, os vetores , e geram a base de porque qualquer vetor pode ser expresso como:
Onde , e são escalares que podemos determinar resolvendo o sistema linear formado pelos componentes dos vetores.

Passo 4

Parte c: Agora, vamos verificar se o conjunto B = 1 & 1 & 4 1 & 3 & 9 0 & 2 & 5 pode ser uma base de det(B) = 1 cdot (3 cdot 5 - 9 cdot 2) - 1 cdot (1 cdot 5 - 9 cdot 0) + 4 cdot (1 cdot 2 - 3 cdot 0) .
Novamente, montamos a matriz com esses vetores como colunas:
det(B) = 1 cdot (15 - 18) - 1 cdot (5 - 0) + 4 cdot (2 - 0)
Calculando o determinante de det(B) = 1 cdot (-3) - 1 cdot 5 + 4 cdot 2 = -3 - 5 + 8 = 0 :
Como , os vetores são linearmente dependentes e não formam uma base de .

Resposta

a) Sim, os vetores , e formam uma base de .
b) Eles geram a base porque são linearmente independentes e qualquer vetor em pode ser expresso como uma combinação linear deles.
c) O conjunto não pode ser uma base de pois é linearmente dependente.

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