Num quadrado A B C D tem-se A=(3,-4) e B=(5,6). Quais são as coordenadas dos pontos C e D?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrado onde os pontos e estão nas coordenadas e . Nosso objetivo é descobrir onde ficam os pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria, especialmente sobre quadrados e como encontrar pontos no plano através de vetores e coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de AB = (5 - 3, 6 - (-4)) = (2, 10) para . Isso ajuda a entender a direção e o tamanho do lado do quadrado. A gente calcula o vetor subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, como é um quadrado, o próximo lado vai ser perpendicular a AD = (-10, 2) . Para achar um vetor perpendicular a AB cdot AD = 2*(-10) + 10*2 = -20 + 20 = 0 , a gente pode trocar as coordenadas e mudar o sinal de uma delas, por exemplo:
Isso garante que e sejam perpendiculares, já que o produto escalar deles é zero:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto D = A + AD = (3 + (-10), -4 + 2) = (-7, -2) . Sabendo que e , somamos o vetor às coordenadas de :

Passo 5

Com o ponto C = B + AD = (5 + (-10), 6 + 2) = (-5, 8) encontrado, podemos facilmente achar o ponto , já que ele está a uma distância igual de na direção de . Ou seja, é igual a :

Resposta

As coordenadas dos pontos são e .

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