(1,0 ponto) Determine se W=(x, y) E R^2 mid y=2 x é um subespaço de R^2 e se W=(x, y) E R^2 mid y=6 x-2 são subespaços de R^2. Justifique abordando o que isso representa geometricamente.
Boa prova!

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se os conjuntos e são subespaços de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como isso se relaciona geometricamente com as retas que esses conjuntos representam.

Passo 2

Primeiro, um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: o ponto deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Essas são as regras básicas para um subespaço vetorial.

Passo 3

Vamos analisar o primeiro conjunto . Geometricamente, essa é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
  1. Contém o vetor zero: Se , então . Então, .
  2. Fechado sob adição: Se temos dois pontos e em , então e . A soma é . Isso pode ser reescrito como , que ainda satisfaz .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Para um ponto em e um escalar , temos , que também satisfaz .
Como todas as condições são atendidas, é um subespaço de .

Passo 4

Agora, vamos olhar para o segundo conjunto . Essa é uma reta que não passa pela origem.
  1. Contém o vetor zero: Se tentarmos , então . Portanto, não está em .
Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não é um subespaço de . Além disso, geometricamente, essa reta está deslocada da origem, o que impede que ela seja um subespaço.

Resposta

O conjunto é um subespaço de , pois satisfaz todas as condições necessárias. Já o conjunto não é um subespaço de porque não contém o vetor zero e a reta não passa pela origem.

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