(1,0 ponto) Determine se
é um subespaço de
e se
são subespaços de
. Justifique abordando o que isso representa geometricamente.
Boa prova!
Boa prova!
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se os conjuntos
e
são subespaços de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como isso se relaciona geometricamente com as retas que esses conjuntos representam.
Passo 2
Primeiro, um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: o ponto
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Essas são as regras básicas para um subespaço vetorial.
Passo 3
Vamos analisar o primeiro conjunto
. Geometricamente, essa é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
- Contém o vetor zero: Se
, então . Então, . - Fechado sob adição: Se temos dois pontos
e em , então e . A soma é . Isso pode ser reescrito como , que ainda satisfaz . - Fechado sob multiplicação por escalar: Para um ponto
em e um escalar , temos , que também satisfaz .
Como todas as condições são atendidas,
é um subespaço de
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o segundo conjunto
. Essa é uma reta que não passa pela origem.
- Contém o vetor zero: Se tentarmos
, então . Portanto, não está em .
Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não é um subespaço de
. Além disso, geometricamente, essa reta está deslocada da origem, o que impede que ela seja um subespaço.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
, pois satisfaz todas as condições necessárias. Já o conjunto
não é um subespaço de
porque não contém o vetor zero e a reta não passa pela origem.