Seja a transformação linear associada a matriz .
Ache uma base para Im(T).
Passo 1
Então, a gente tem uma transformação linear 1 & 0 & 2 3 & 0 & -1 2 & 0 & 0 que é representada pela matriz:
O objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de , que basicamente significa identificar um conjunto de vetores que “geram” todos os vetores que pode produzir. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e como trabalhar com matrizes para encontrar essas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz que representa essa transformação. Então, para encontrar uma base para a imagem de , precisamos identificar quais colunas da matriz são suficientes para “gerar” todas as outras.
Passo 3
Para isso, vamos colocar a matriz em forma escalonada por linhas, ou seja, vamos usar operações elementares nas linhas para simplificar a matriz. Isso ajuda a identificar quais colunas contêm os “pivôs”, que são os primeiros elementos não nulos em cada linha.
Passo 4
Vamos começar com a matriz original:
1 & 0 & 2 3 & 0 & -1 2 & 0 & 0
Primeiro, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
1 & 0 & 2 0 & 0 & -7 0 & 0 & -4
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, olhamos para a segunda linha. Perceba que todos os elementos na segunda coluna são zero, então não há pivô nessa coluna. Vamos olhar para a terceira coluna.
Temos dois elementos não nulos: -7 na segunda linha e -4 na terceira linha. Vamos escolher -7 como nosso pivô na segunda linha.
Para simplificar, podemos dividir a segunda linha por -7 para tornar o pivô igual a 1:
1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 0 & 0 & -4
Isso resulta em:
Passo 6
Agora, vamos usar o pivô da segunda linha para zerar o elemento acima e abaixo dele na terceira coluna.
Subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira linha:
Isso nos dá:
Passo 7
Agora, a matriz está em forma escalonada reduzida. Observamos que há pivôs na primeira e segunda colunas após a redução. Isso significa que as primeiras duas colunas da matriz original são suficientes para formar uma base para a imagem de .
Resposta
Uma base para 1 3 2 , 0 0 0 é formada pelos vetores das duas primeiras colunas da matriz original:
1 3 2
No entanto, percebemos que a segunda coluna é o vetor nulo, que não contribui para a base. Portanto, apenas a primeira coluna é necessária. Então, a base correta para é: