Pode-se formar uma camada muito delgada de metal vaporizando-se o metal que é depositado por condensação sobre um substrato frio de vidro. A espessura da camada pode ser determinada com uma medida da resistência. Suponha que a resistência de um depósito retangular de alumínio ( 31 mm por 5,6 mm ) a 20 ^circ C seja de 19 Omega quando a diferença de potencial é aplicada ao longo da maior dimensão da camada. (a) Qual a espessura dessa camada? (b) Qual é a resistência da camada do mesmo material, com a mesma espessura, mas com suas dimensões retangulares iguais ao dobro das dimensões prévias correspondentes? ( rho alum =2,655 times 10^-8 Omega m. R : (a) e=7,7 nm; (b) R=19 Omega.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma camada fina de alumínio depositada sobre vidro, e queremos descobrir a espessura dessa camada usando a resistência elétrica medida. A matéria envolvida aqui é Resistência Elétrica e Resistividade de materiais. Para resolver, vamos usar a fórmula da resistência elétrica que relaciona resistividade, dimensões do material e sua geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica:
R = rho LA
onde:
  • é a resistência,
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento pelo qual a corrente passa,
  • é a área da seção transversal.
No nosso caso, a resistência é 19 Ω, a resistividade do alumínio é , o comprimento é a maior dimensão da camada, que é 31 mm (ou 0,031 m), e a largura é 5,6 mm (ou 0,0056 m). A área da seção transversal será a largura multiplicada pela espessura que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para resolver R = rho LW cdot e :
e = rho LR cdot W
Queremos isolar , então:
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula.

Passo 4

Substituindo os valores:
e = 2,655 times 10^-8 Omega cdot m times 0,031 m19 Omega times 0,0056 m
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Calculando o numerador:
2,655 times 10^-8 times 0,031 = 8,2405 times 10^-10 Omega cdot m^2
E o denominador:
19 times 0,0056 = 0,1064 Omega cdot m

Passo 6

Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar e = 8,2405 times 10^-100,1064 approx 7,745 times 10^-9 m :
e approx 7,745 nm approx 7,7 nm
Convertendo metros para nanômetros ( ):

Passo 7

Agora, para a parte (b), queremos saber qual será a resistência se as dimensões retangulares forem dobradas, mas mantendo a mesma espessura.
A nova dimensão será:
  • Comprimento:
  • Largura:

Passo 8

Vamos usar novamente a fórmula da resistência:
R = rho LW cdot e
Substituindo as novas dimensões:
R = 2,655 times 10^-8 times 0,062W cdot e
Mas como a espessura R = rho 2L2W cdot e = rho LW cdot e = Roriginal e a resistividade continuam as mesmas, ao dobrar e , temos:
Ou seja, a resistência permanece a mesma.

Resposta

(a) A espessura da camada é ;
(b) A resistência da nova camada é .

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