Pode-se formar uma camada muito delgada de metal vaporizando-se o metal que é depositado por condensação sobre um substrato frio de vidro. A espessura da camada pode ser determinada com uma medida da resistência. Suponha que a resistência de um depósito retangular de alumínio ( 31 mm por
) a 20
seja de
quando a diferença de potencial é aplicada ao longo da maior dimensão da camada. (a) Qual a espessura dessa camada? (b) Qual é a resistência da camada do mesmo material, com a mesma espessura, mas com suas dimensões retangulares iguais ao dobro das dimensões prévias correspondentes? (
alum
. R : (a)
; (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma camada fina de alumínio depositada sobre vidro, e queremos descobrir a espessura dessa camada usando a resistência elétrica medida. A matéria envolvida aqui é Resistência Elétrica e Resistividade de materiais. Para resolver, vamos usar a fórmula da resistência elétrica que relaciona resistividade, dimensões do material e sua geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica:
onde:
-
é a resistência, -
é a resistividade do material, -
é o comprimento pelo qual a corrente passa, -
é a área da seção transversal.
No nosso caso, a resistência
é 19 Ω, a resistividade
do alumínio é
, o comprimento
é a maior dimensão da camada, que é 31 mm (ou 0,031 m), e a largura
é 5,6 mm (ou 0,0056 m). A área da seção transversal
será a largura
multiplicada pela espessura
que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos reorganizar a fórmula para resolver
:
Queremos isolar
, então:
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula.
Passo 4
Substituindo os valores:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Calculando o numerador:
E o denominador:
Passo 6
Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar
:
Convertendo metros para nanômetros (
):
Passo 7
Agora, para a parte (b), queremos saber qual será a resistência se as dimensões retangulares forem dobradas, mas mantendo a mesma espessura.
A nova dimensão será:
- Comprimento:
- Largura:
Passo 8
Vamos usar novamente a fórmula da resistência:
Substituindo as novas dimensões:
Mas como a espessura
e a resistividade
continuam as mesmas, ao dobrar
e
, temos:
Ou seja, a resistência permanece a mesma.
Resposta
(a) A espessura da camada é
;
(b) A resistência da nova camada é .
(b) A resistência da nova camada é
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