Prove a lei trigonométrica dos senos usando métodos vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a Lei dos Senos usando métodos vetoriais. Isso está na área de trigonometria e álgebra vetorial. Para resolver, a gente vai precisar representar os lados de um triângulo como vetores e usar propriedades desses vetores para chegar na relação que é a Lei dos Senos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei dos Senos. Ela diz que, em qualquer triângulo, o comprimento de cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto é constante. Ou seja, se temos um triângulo com lados
,
,
e ângulos
,
,
opostos a esses lados, então:
Passo 3
Agora, vamos representar os lados do triângulo como vetores no plano. Vamos considerar um triângulo
onde:
-
representa o lado -
representa o lado -
representa o lado
Passo 4
Para relacionar os vetores com os ângulos, vamos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores
e
tem módulo igual a
, onde
�� o ângulo entre eles.
Passo 5
No triângulo
, considerando os vetores
e
, o ângulo entre eles é o ângulo
. Então, temos:
Passo 6
Sabemos que o módulo do produto vetorial também representa o dobro da área do triângulo. Ou seja:
Mas também podemos escrever a área em termos de outro par de lados e o ângulo entre eles.
Passo 7
Igualando as duas expressões para a área, temos:
Passo 8
Simplificando os
e o lado
que aparece em ambos os lados, fica:
Passo 9
Rearranjando a equação para isolar
, temos:
Passo 10
Repetindo o mesmo processo para os outros lados do triângulo, podemos mostrar que:
Resposta
Assim, provamos que
, que é a Lei dos Senos.
Exercícios relacionados
Dados
. Encontre
e
Quando o carro viajava a
numa pista horizontal, o motorista notou que, tirando totalmente o pé do acelerador, a
velocidade do carro caiu para em 3 segundos (aproximadamente em MUV, devido às forças dissipativas de atrito e resistência do ar). Com isso, estime a potência necessária do motor para manter o carro a
.
velocidade do carro caiu para
A corrente máxima recomendada em um fio de cobre de calibre 12 (raio = 1,03
) usado em circuitos domésticos é 20 A . (a) Qual é a resistência de uma seção de fio de cobre de calibre 12 com 1,00 m de comprimento? (b) Qual a diferença de potencial através dessa seção quando a corrente é 20 A? Dado a resistividade do cobre
. R: (a)
; (b) 100 mV .
Pode-se formar uma camada muito delgada de metal vaporizando-se o metal que é depositado por condensação sobre um substrato frio de vidro. A espessura da camada pode ser determinada com uma medida da resistência. Suponha que a resistência de um depósito retangular de alumínio ( 31 mm por
) a 20
seja de
quando a diferença de potencial é aplicada ao longo da maior dimensão da camada. (a) Qual a espessura dessa camada? (b) Qual é a resistência da camada do mesmo material, com a mesma espessura, mas com suas dimensões retangulares iguais ao dobro das dimensões prévias correspondentes? (
alum
. R : (a)
; (b)
.