Prove a lei trigonométrica dos senos usando métodos vetoriais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a Lei dos Senos usando métodos vetoriais. Isso está na área de trigonometria e álgebra vetorial. Para resolver, a gente vai precisar representar os lados de um triângulo como vetores e usar propriedades desses vetores para chegar na relação que é a Lei dos Senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei dos Senos. Ela diz que, em qualquer triângulo, o comprimento de cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto é constante. Ou seja, se temos um triângulo com lados asin A = bsin B = csin C , , e ângulos , , opostos a esses lados, então:

Passo 3

Agora, vamos representar os lados do triângulo como vetores no plano. Vamos considerar um triângulo onde:
  • representa o lado
  • representa o lado
  • representa o lado

Passo 4

Para relacionar os vetores com os ângulos, vamos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e tem módulo igual a , onde �� o ângulo entre eles.

Passo 5

No triângulo |AB times AC| = |AB| cdot |AC| cdot sin A , considerando os vetores e , o ângulo entre eles é o ângulo . Então, temos:

Passo 6

Sabemos que o módulo do produto vetorial também representa o dobro da área do triângulo. Ou seja:
Área = 12 |AB times AC| = 12 a b sin C Á
Mas também podemos escrever a área em termos de outro par de lados e o ângulo entre eles.

Passo 7

Igualando as duas expressões para a área, temos:
12 a b sin C = 12 b c sin A

Passo 8

Simplificando os a sin C = c sin A e o lado que aparece em ambos os lados, fica:

Passo 9

Rearranjando a equação para isolar asin A = csin C , temos:

Passo 10

Repetindo o mesmo processo para os outros lados do triângulo, podemos mostrar que:
asin A = bsin B = csin C

Resposta

Assim, provamos que , que é a Lei dos Senos.

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