Prove a lei trigonométrica dos senos usando métodos vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a Lei dos Senos usando métodos vetoriais. Isso está na área de trigonometria e álgebra vetorial. Para resolver, a gente vai precisar representar os lados de um triângulo como vetores e usar propriedades desses vetores para chegar na relação que é a Lei dos Senos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei dos Senos. Ela diz que, em qualquer triângulo, o comprimento de cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto é constante. Ou seja, se temos um triângulo com lados
,
,
e ângulos
,
,
opostos a esses lados, então:
Passo 3
Agora, vamos representar os lados do triângulo como vetores no plano. Vamos considerar um triângulo
onde:
-
representa o lado -
representa o lado -
representa o lado
Passo 4
Para relacionar os vetores com os ângulos, vamos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores
e
tem módulo igual a
, onde
�� o ângulo entre eles.
Passo 5
No triângulo
, considerando os vetores
e
, o ângulo entre eles é o ângulo
. Então, temos:
Passo 6
Sabemos que o módulo do produto vetorial também representa o dobro da área do triângulo. Ou seja:
Mas também podemos escrever a área em termos de outro par de lados e o ângulo entre eles.
Passo 7
Igualando as duas expressões para a área, temos:
Passo 8
Simplificando os
e o lado
que aparece em ambos os lados, fica:
Passo 9
Rearranjando a equação para isolar
, temos:
Passo 10
Repetindo o mesmo processo para os outros lados do triângulo, podemos mostrar que:
Resposta
Assim, provamos que
, que é a Lei dos Senos.