Podemos afirmar que a função
definida por
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas maneiras: uma para todos os pontos diferentes de
e outra especificamente para
. Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua em
. Para fazer isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa continuidade em
. Uma função é contínua nesse ponto se o limite dela quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
Passo 3
Vamos então calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para
, temos:
Vamos simplificar isso para facilitar o cálculo do limite.
Passo 4
Primeiro, note que
pode ser aproximado por
quando
é bem pequeno, já que
. Então, para valores próximos de
, podemos simplificar:
Passo 5
Agora, para calcular o limite
, podemos tentar abordar o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.
Passo 6
Vamos primeiro considerar o caminho onde
. Substituindo:
Então, o limite ao longo de
é 0.
Passo 7
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo:
Então, o limite ao longo de
também é 0.
Passo 8
Vamos tentar um caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo:
Aqui, o limite depende do valor de
. Por exemplo, se
, o limite é
; se
, é
, e assim por diante.
Passo 9
Percebi que ao escolher diferentes valores de
, obtemos limites diferentes. Isso significa que o limite de
depende do caminho pelo qual
se aproxima de
.
Passo 10
Se o limite depende do caminho, então o limite geral
não existe.
Resposta
Não, a função
não é contínua em
, pois o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Seja a função
dada por
. Encontre:
Seja
definido em
e sejam
e
as circunferências
, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter
.
Sem mostrar, considere a igualdade
Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(a)