Podemos afirmar que a função definida por é contínua em ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: uma para todos os pontos diferentes de e outra especificamente para . Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua em . Para fazer isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa continuidade em . Uma função é contínua nesse ponto se o limite dela quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se:

Passo 3

Vamos então calcular o limite de quando se aproxima de . Para , temos:
Vamos simplificar isso para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Primeiro, note que pode ser aproximado por quando é bem pequeno, já que . Então, para valores próximos de , podemos simplificar:

Passo 5

Agora, para calcular o limite , podemos tentar abordar o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.

Passo 6

Vamos primeiro considerar o caminho onde . Substituindo:
Então, o limite ao longo de é 0.

Passo 7

Agora, vamos considerar o caminho onde . Substituindo:
Então, o limite ao longo de também é 0.

Passo 8

Vamos tentar um caminho onde , onde é uma constante. Substituindo:
Aqui, o limite depende do valor de . Por exemplo, se , o limite é ; se , é , e assim por diante.

Passo 9

Percebi que ao escolher diferentes valores de , obtemos limites diferentes. Isso significa que o limite de depende do caminho pelo qual se aproxima de .

Passo 10

Se o limite depende do caminho, então o limite geral não existe.

Resposta

Não, a função não é contínua em , pois o limite não existe.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Seja a função dada por . Encontre:
Seja definido em e sejam e as circunferências , respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter .
Utilize o teste da integral ou o teste da -série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)