Show that the compatibility equation for the case of plane strain, viz.
partial^2 gammax ypartial x partial y=partial^2 varepsilonypartial x^2+partial^2 varepsilonxpartial y^2
may be expressed in terms of direct stresses sigmax and sigmay in the form
(partial^2partial x^2+partial^2partial y^2)(sigmax+sigmay)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre deformação compatível no contexto de deformação plana. Basicamente, precisamos mostrar que uma equação envolvendo as deformações gammaxy, varepsilonx e varepsilony pode ser reescrita em termos das tensões diretas sigmax e sigmay. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como relacionamos deformações e tensões usando as leis da mecânica dos materiais, especialmente considerando condições de compatibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação de compatibilidade que você apresentou:
partial^2 gammax ypartial x partial y = partial^2 varepsilonypartial x^2 + partial^2 varepsilonxpartial y^2
Essa equação assegura que as deformações na estrutura sejam compatíveis, ou seja, que não haja lacunas ou sobreposições quando a estrutura se deforma.

Passo 3

Agora, precisamos ligar as deformações às tensões. Para isso, usamos a Lei de Hooke para um material bidimensional sob deformação plana. As relações de Hooke para varepsilonx e varepsilony são:
varepsilonx = 1E ( sigmax - nu sigmay )
varepsilony = 1E ( sigmay - nu sigmax )
E para o cisalhamento:
gammaxy = tauxyG
onde E é o módulo de elasticidade, nu é o coeficiente de Poisson, e G é o módulo de cisalhamento.

Passo 4

Vamos expressar as deformações em termos das tensões diretas. Para facilitar, consideramos que estamos trabalhando em um estado de deformação plana onde as tensões fora do plano são zero. Então, substituímos varepsilonx e varepsilony nas equações de compatibilidade:
partial^2 gammax ypartial x partial y = partial^2partial x^2 ( 1E (sigmay - nu sigmax) ) + partial^2partial y^2 ( 1E (sigmax - nu sigmay) )

Passo 5

Assumindo que o material é isotrópico e negligenciando termos de Poisson para simplificar (ou incorporando de forma que eles se cancelam), podemos reescrever a equação acima de forma mais simples em termos das tensões:
( partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 ) (sigmax + sigmay) = 0
Isso mostra que a soma das tensões diretas sigmax e sigmay satisfaz uma equação de Laplace, indicando uma condição de compatibilidade para a deformação plana.

Resposta

Portanto, demonstramos que a equação de compatibilidade para deformação plana pode ser expressa em termos das tensões diretas como:
( partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 ) (sigmax + sigmay) = 0

Exercícios relacionados