H8 Um poliedro convexo tem apenas faces quadradas, octogonais e hexagonais. Sabe-se que os números de faces quadradas, octogonais e hexagonais são diretamente proporcionais a 6,3 e 4, respectivamente. Além disso, o numero de arestas é igual a do número de vértices. Calcule o número total de faces, arestas e vértices desse poliedro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um poliedro convexo que só tem faces quadradas, octogonais e hexagonais. A quantidade dessas faces está na proporção de 6:3:4, respectivamente. Além disso, o número de arestas é 150% do número de vértices. Nosso objetivo é descobrir quantas faces, arestas e vértices esse poliedro tem. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria dos poliedros e a famosa fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a proporção das faces. Sabemos que as faces quadradas, octogonais e hexagonais estão na proporção de 6:3:4. Para facilitar os cálculos, vamos assumir que existe um múltiplo comum, que chamaremos de . Assim:
  • Número de faces quadradas =
  • Número de faces octogonais =
  • Número de faces hexagonais =

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número total de faces ( ) do poliedro. Basta somar todas as faces:

Passo 4

Em seguida, precisamos relacionar as arestas ( ) e os vértices ( ). O enunciado diz que o número de arestas é 150% do número de vértices. Em termos matemáticos:

Passo 5

Para conectar tudo isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros, que é:
Vamos substituir por e por na fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos relacionar com . Para isso, vamos considerar as arestas de cada tipo de face. Cada face quadrada tem 4 arestas, octogonal tem 8 e hexagonal tem 6. Contudo, como cada aresta é compartilhada por duas faces, o total de arestas pode ser calculado por:
Calculando:

Passo 7

Sabemos que e também acabamos de achar que . Então:
Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que sabemos que , podemos encontrar , e :
  • Número de faces quadradas =
  • Número de faces octogonais =
  • Número de faces hexagonais =
Total de faces:
Número de arestas:
Número de vértices:

Resposta

O poliedro tem 26 faces, 72 arestas e 48 vértices.

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