H8 Um poliedro convexo tem apenas faces quadradas, octogonais e hexagonais. Sabe-se que os números de faces quadradas, octogonais e hexagonais são diretamente proporcionais a 6,3 e 4, respectivamente. Além disso, o numero de arestas é igual a
do número de vértices. Calcule o número total de faces, arestas e vértices desse poliedro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um poliedro convexo que só tem faces quadradas, octogonais e hexagonais. A quantidade dessas faces está na proporção de 6:3:4, respectivamente. Além disso, o número de arestas é 150% do número de vértices. Nosso objetivo é descobrir quantas faces, arestas e vértices esse poliedro tem. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria dos poliedros e a famosa fórmula de Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a proporção das faces. Sabemos que as faces quadradas, octogonais e hexagonais estão na proporção de 6:3:4. Para facilitar os cálculos, vamos assumir que existe um múltiplo comum, que chamaremos de
. Assim:
- Número de faces quadradas =
- Número de faces octogonais =
- Número de faces hexagonais =
Passo 3
Agora, vamos encontrar o número total de faces (
) do poliedro. Basta somar todas as faces:
Passo 4
Em seguida, precisamos relacionar as arestas (
) e os vértices (
). O enunciado diz que o número de arestas é 150% do número de vértices. Em termos matemáticos:
Passo 5
Para conectar tudo isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros, que é:
Vamos substituir
por
e
por
na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar
com
. Para isso, vamos considerar as arestas de cada tipo de face. Cada face quadrada tem 4 arestas, octogonal tem 8 e hexagonal tem 6. Contudo, como cada aresta é compartilhada por duas faces, o total de arestas pode ser calculado por:
Calculando:
Passo 7
Sabemos que
e também acabamos de achar que
. Então:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
,
e
:
- Número de faces quadradas =
- Número de faces octogonais =
- Número de faces hexagonais =
Total de faces:
Número de arestas:
Número de vértices:
Resposta
O poliedro tem 26 faces, 72 arestas e 48 vértices.