H8 Um poliedro convexo tem apenas faces quadradas, octogonais e hexagonais. Sabe-se que os números de faces quadradas, octogonais e hexagonais são diretamente proporcionais a 6,3 e 4, respectivamente. Além disso, o numero de arestas é igual a 150 % do número de vértices. Calcule o número total de faces, arestas e vértices desse poliedro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um poliedro convexo que só tem faces quadradas, octogonais e hexagonais. A quantidade dessas faces está na proporção de 6:3:4, respectivamente. Além disso, o número de arestas é 150% do número de vértices. Nosso objetivo é descobrir quantas faces, arestas e vértices esse poliedro tem. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria dos poliedros e a famosa fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a proporção das faces. Sabemos que as faces quadradas, octogonais e hexagonais estão na proporção de 6:3:4. Para facilitar os cálculos, vamos assumir que existe um múltiplo comum, que chamaremos de . Assim:
  • Número de faces quadradas =
  • Número de faces octogonais =
  • Número de faces hexagonais =

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número total de faces ( F = 6k + 3k + 4k = 13k ) do poliedro. Basta somar todas as faces:

Passo 4

Em seguida, precisamos relacionar as arestas ( E = 1,5V ) e os vértices ( ). O enunciado diz que o número de arestas é 150% do número de vértices. Em termos matemáticos:

Passo 5

Para conectar tudo isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros, que é:
V - E + F = 2
Vamos substituir V - 1,5V + 13k = 2 por -0,5V + 13k = 2 e 0,5V = 13k - 2 por V = 13k - 20,5 = 26k - 4 na fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos relacionar E = 4 times 6k + 8 times 3k + 6 times 4k2 com E = 24k + 24k + 24k2 = 72k2 = 36k . Para isso, vamos considerar as arestas de cada tipo de face. Cada face quadrada tem 4 arestas, octogonal tem 8 e hexagonal tem 6. Contudo, como cada aresta é compartilhada por duas faces, o total de arestas pode ser calculado por:
Calculando:

Passo 7

Sabemos que 36k = 1,5V e também acabamos de achar que 36k = 1,5(26k - 4) = 39k - 6 . Então:
36k = 39k - 6
Substituindo -3k = -6 :
k = 2
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que sabemos que F = 13k = 26 , podemos encontrar E = 36k = 72 , V = 26k - 4 = 48 e :
  • Número de faces quadradas =
  • Número de faces octogonais =
  • Número de faces hexagonais =
Total de faces:
Número de arestas:
Número de vértices:

Resposta

O poliedro tem 26 faces, 72 arestas e 48 vértices.

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