H8 Um poliedro tem 7 ângulos pentaédricose 31 ângulos tetraédricos; os demais são triedros. Sabendo que esse poliedro tem a quantidade de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares, 22 faces pentagonais e, no total, 54 faces, calcule o número de vértices desse poliedro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um poliedro que possui diferentes tipos de ângulos nos vértices:
  • 7 ângulos pentaédricos (onde 5 faces se encontram)
  • 31 ângulos tetraédricos (onde 4 faces se encontram)
  • Os demais são triedros (onde 3 faces se encontram)
Além disso, o poliedro tem:
  • 22 faces pentagonais
  • A quantidade de faces triangulares é igual à de faces quadrangulares
  • Total de 54 faces
Queremos descobrir quantos vértices esse poliedro possui. Para isso, vamos usar algumas fórmulas da geometria dos poliedros e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as quantidades das diferentes faces:
Sabemos que o número de faces triangulares (f₃) é igual ao de faces quadrangulares (f₄). Além disso, temos 22 faces pentagonais (f₅) e um total de 54 faces.
Então, podemos montar a seguinte equação:
f₃ + f₄ + f₅ = 54
Como f₃ = f₄, podemos dizer:
2f₃ + 22 = 54
2f₃ = 32
f₃ = 16
Portanto, temos:
  • faces triangulares
  • faces quadrangulares
  • faces pentagonais

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de arestas (E) do poliedro. Para isso, usamos a fórmula da soma dos lados das faces, que nos diz que:
3f₃ + 4f₄ + 5f₅ = 2E
Substituindo os valores que já conhecemos:
3(16) + 4(16) + 5(22) = 2E
48 + 64 + 110 = 2E
222 = 2E
E = 111
Então, o poliedro tem 111 arestas.

Passo 4

Vamos usar agora a fórmula de Euler para poliedros, que relaciona vértices (V), arestas (E) e faces (F):
V - E + F = 2
Já sabemos que:
  • V - 111 + 54 = 2
  • V - 57 = 2
Substituindo na fórmula:
V = 59
Então, o poliedro tem 59 vértices.

Resposta

O poliedro possui 59 vértices.

Exercícios relacionados