Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: e) a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um polígono regular que tem, a partir de um de seus vértices, o mesmo número de diagonais que um hexágono tem. Nosso objetivo é descobrir a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo desse polígono. Para isso, vamos precisar entender como calcular o número de diagonais de um polígono e, depois, usar as fórmulas dos ângulos internos e externos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o número de diagonais de um polígono. A fórmula para saber quantas diagonais tem um polígono de
lados é:
Isso porque cada vértice se conecta a
outros vértices para formar diagonais (não conta ele mesmo e os dois vizinhos). Como cada diagonal é contada duas vezes (de cada extremidade), dividimos por 2.
Passo 3
Sabemos que o polígono dado tem, a partir de um vértice, tantas diagonais quanto um hexágono. Primeiro, vamos calcular quantas diagonais tem um hexágono.
Para um hexágono (
):
Então, nosso polígono também tem 9 diagonais.
Passo 4
Agora, usamos a mesma fórmula para encontrar o número de lados do nosso polígono:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Expandindo:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como número de lados não pode ser negativo, temos
. Ou seja, o polígono também é um hexágono.
Passo 6
Agora, vamos calcular os ângulos internos e externos de um hexágono.
A fórmula para o ângulo interno de um polígono de
lados é:
Substituindo
:
Para o ângulo externo, sabemos que a soma dos ângulos internos e externos em cada vértice é
. Então:
Resposta
Cada ângulo interno mede
e cada ângulo externo mede
.