Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: e) a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um polígono regular que tem, a partir de um de seus vértices, o mesmo número de diagonais que um hexágono tem. Nosso objetivo é descobrir a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo desse polígono. Para isso, vamos precisar entender como calcular o número de diagonais de um polígono e, depois, usar as fórmulas dos ângulos internos e externos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o número de diagonais de um polígono. A fórmula para saber quantas diagonais tem um polígono de D = n(n - 3)2 lados é:
Isso porque cada vértice se conecta a outros vértices para formar diagonais (não conta ele mesmo e os dois vizinhos). Como cada diagonal é contada duas vezes (de cada extremidade), dividimos por 2.

Passo 3

Sabemos que o polígono dado tem, a partir de um vértice, tantas diagonais quanto um hexágono. Primeiro, vamos calcular quantas diagonais tem um hexágono.
Para um hexágono ( Dhexágono = 6(6 - 3)2 = 6 times 32 = 9 ):
á
Então, nosso polígono também tem 9 diagonais.

Passo 4

Agora, usamos a mesma fórmula para encontrar o número de lados do nosso polígono:
n(n - 3)2 = 9
Multiplicando ambos os lados por 2:
n(n - 3) = 18
Expandindo:
n^2 - 3n - 18 = 0

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática:
n^2 - 3n - 18 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
n = 3 pm raiz9 + 722 = 3 pm raiz812 = 3 pm 92
As soluções são:
n = 3 + 92 = 6 ou n = 3 - 92 = -3
Como número de lados não pode ser negativo, temos . Ou seja, o polígono também é um hexágono.

Passo 6

Agora, vamos calcular os ângulos internos e externos de um hexágono.
A fórmula para o ângulo interno de um polígono de Ângulo interno = (n - 2) times 180^circn lados é:
Ângulo interno = (6 - 2) times 180^circ6 = 4 times 180^circ6 = 120^circ Â
Substituindo Ângulo externo = 180^circ - 120^circ = 60^circ :
Â
Para o ângulo externo, sabemos que a soma dos ângulos internos e externos em cada vértice é . Então:
Â

Resposta

Cada ângulo interno mede e cada ângulo externo mede .

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