Prove a Identidade de Lagrange: Para quaisquer vetores
e
temos
Passo 1
Beleza, vamos resolver a Identidade de Lagrange para vetores. O enunciado nos diz que, para quaisquer vetores
e
, a seguinte igualdade deve ser comprovada:
Vamos precisar conhecer os conceitos de produto escalar (
) e produto vetorial (
), além das suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que significa o produto vetorial. Para dois vetores
e
, o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois, e a magnitude desse produto é dada por:
onde
é o ângulo entre
e .
Passo 3
Agora, o produto escalar é definido por:
Isso nos dá uma relação direta entre o produto escalar e o ângulo entre os vetores.
Passo 4
Vamos calcular o quadrado da magnitude do produto vetorial:
Passo 5
Da mesma forma, calculamos o quadrado do produto escalar:
Passo 6
Vamos agora subtrair o quadrado do produto escalar do quadrado das magnitudes dos vetores:
Fatorando
:
Passo 7
Observamos que:
E também:
Portanto, os dois lados da igualdade são iguais.
Resposta
Comprovamos que: