(1,0) Prove a Identidade de Lagrange: Para quaisquer vetores u e v temos
|u times v|^2=|u|^2|v|^2-(u cdot v)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Identidade de Lagrange para vetores. O enunciado nos diz que, para quaisquer vetores u e v, a seguinte igualdade deve ser comprovada:
|u times v|^2=|u|^2|v|^2-(u cdot v)^2
Vamos precisar conhecer os conceitos de produto escalar ( cdot) e produto vetorial ( times), além das suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que significa o produto vetorial. Para dois vetores u e v, o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois, e a magnitude desse produto é dada por:
u times v
onde |u times v| = |u| cdot |v| cdot sintheta é o ângulo entre theta e .

Passo 3

Agora, o produto escalar é definido por:
u cdot v
Isso nos dá uma relação direta entre o produto escalar e o ângulo entre os vetores.

Passo 4

Vamos calcular o quadrado da magnitude do produto vetorial:
|u times v|^2 = (|u| cdot |v| cdot sintheta)^2 = |u|^2 cdot |v|^2 cdot sin^2theta

Passo 5

Da mesma forma, calculamos o quadrado do produto escalar:
(u cdot v)^2 = (|u| cdot |v| cdot costheta)^2 = |u|^2 cdot |v|^2 cdot cos^2theta

Passo 6

Vamos agora subtrair o quadrado do produto escalar do quadrado das magnitudes dos vetores:
|u|^2|v|^2 - (u cdot v)^2 = |u|^2|v|^2 - |u|^2|v|^2 cdot cos^2theta
Fatorando |u|^2|v|^2:
= |u|^2|v|^2 (1 - cos^2theta) = |u|^2|v|^2 cdot sin^2theta

Passo 7

Observamos que:
|u times v|^2 = |u|^2|v|^2 cdot sin^2theta
E também:
|u|^2|v|^2 - (u cdot v)^2 = |u|^2|v|^2 cdot sin^2theta
Portanto, os dois lados da igualdade são iguais.

Resposta

Comprovamos que:
|u times v|^2 = |u|^2|v|^2 - (u cdot v)^2

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