Um polinômio , com coeficientes reais, é tal que e . Se é o resto da divisão de por , então .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um polinômio com coeficientes reais que satisfaz e . Queremos encontrar o resto quando dividimos por , e sabemos que .
Matéria envolvida: Divisão de polinômios e o Teorema do Resto.
O que vamos precisar: Saber como dividir um polinômio por outro e usar os valores dados para encontrar os coeficientes do resto.

Passo 2

Quando dividimos um polinômio por outro polinômio , obtemos um quociente e um resto , tal que:
No nosso caso, . Como o grau de é 2, o grau de deve ser menor que 2. Portanto, é um polinômio de primeiro grau, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos usar os valores fornecidos para encontrar e .
Sabemos que:
Vamos substituir e na equação da divisão:
Para :
Para :

Passo 4

Agora que encontramos e , podemos escrever o resto:
Vamos verificar se isso satisfaz a condição :
Confirmamos que está correto!

Resposta

O resto da divisão é .

Exercícios relacionados

Existem números reais a e b tais que o quociente da divisão exata do polinômio por é .
Calcule os limites: