Um polinômio P (x) = x³ + ax² + bx + c satisfaz as condições P (1) = 0 e P(-x) + P(x) = 0 para qualquer x real. Então, o valor de P(2) é:
a.2 b.n. d. a.
c.4 d.0 e.6
a.2 b.n. d. a.
c.4 d.0 e.6
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um polinômio $ P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c $ que satisfaz duas condições:
- $ P(1) = 0 $
- $ P(-x) + P(x) = 0 $ para qualquer $ x $ real.
Vamos precisar usar conceitos de polinômios e propriedades de funções ímpares para resolver esse exercício.
Passo 2
A segunda condição $ P(-x) + P(x) = 0 $ nos diz que para qualquer valor de $ x $, a soma de $ P(-x) $ e $ P(x) $ é zero. Isso caracteriza uma função ímpar.
Uma função $ f(x) $ é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $. Portanto, se $ P(-x) + P(x) = 0 $, podemos escrever:
Passo 3
Vamos aplicar essa propriedade ao nosso polinômio $ P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c $.
Calculando $ P(-x) $:
Passo 4
Segundo a propriedade de função ímpar:
Substituindo $ P(x) $:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para $ x^2 $:
Isso implica que $ a = 0 $.
- Para o termo constante:
Isso implica que $ c = 0 $.
Portanto, os valores de $ a $ e $ c $ são zero.
Passo 6
Com $ a = 0 $ e $ c = 0 $, o polinômio simplifica para:
Agora, vamos usar a primeira condição $ P(1) = 0 $:
Passo 7
Substituindo o valor de $ b $ no polinômio:
Agora, queremos encontrar o valor de $ P(2) $:
Resposta
O valor de $ P(2) $ é 6.