Um polinômio P (x) = x³ + ax² + bx + c satisfaz as condições P (1) = 0 e P(-x) + P(x) = 0 para qualquer x real. Então, o valor de P(2) é:
a.2 b.n. d. a.
c.4 d.0 e.6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um polinômio $ P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c $ que satisfaz duas condições:
  1. $ P(1) = 0 $
  2. $ P(-x) + P(x) = 0 $ para qualquer $ x $ real.
Vamos precisar usar conceitos de polinômios e propriedades de funções ímpares para resolver esse exercício.

Passo 2

A segunda condição $ P(-x) + P(x) = 0 $ nos diz que para qualquer valor de $ x $, a soma de $ P(-x) $ e $ P(x) $ é zero. Isso caracteriza uma função ímpar.
Uma função $ f(x) $ é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $. Portanto, se $ P(-x) + P(x) = 0 $, podemos escrever:
P(-x) + P(x) = 0

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade ao nosso polinômio $ P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c $.
Calculando $ P(-x) $:
P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c
P(-x)

Passo 4

Segundo a propriedade de função ímpar:
P(-x) = -P(x)
Substituindo $ P(x) $:
P(x)
-x^3 + a x^2 - b x + c = - (x^3 + a x^2 + b x + c)

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para $ x^2 $:
x^2
Isso implica que $ a = 0 $.
  • Para o termo constante:
a x^2 = -a x^2
Isso implica que $ c = 0 $.
Portanto, os valores de $ a $ e $ c $ são zero.

Passo 6

Com $ a = 0 $ e $ c = 0 $, o polinômio simplifica para:
a = 0
Agora, vamos usar a primeira condição $ P(1) = 0 $:
c = 0
P(x) = x^3 + b x
P(1) = 0

Passo 7

Substituindo o valor de $ b $ no polinômio:
b
Agora, queremos encontrar o valor de $ P(2) $:
P(x) = x^3 - x

Resposta

O valor de $ P(2) $ é 6.

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