Sejam beta1=(1,0),(0,1), beta2=(-1,1),(1,1), beta3=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta4=(2,0),(0,2) bases de R^2 Obter:
As matrizes de mudança de base:
[[]beta4^beta1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz de mudança de base de beta1 para beta4 em R^2. A gente vai trabalhar com bases e transformações de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos da outra base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de R^2 é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, não são múltiplos um do outro, e que conseguem representar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares.
Aqui, beta1=(1,0),(0,1) é a base canônica, e beta4=(2,0),(0,2) é outra base.

Passo 3

A matriz de mudança de base de beta1 para beta4, denotada por [ I ]beta4^beta1, é a matriz que transforma coordenadas de vetores na base beta1 para coordenadas na base beta4.
Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor de beta1 como combinação linear dos vetores de beta4.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de beta1, que é (1,0). Queremos encontrar escalares a e b tais que:
(1,0) = a cdot (2,0) + b cdot (0,2)
Isso se traduz nas equações:
1 = 2a + 0b 0 = 0a + 2b

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
0 = 2b Rightarrow b = 0
Da primeira equação:
1 = 2a Rightarrow a = 12
Então, (1,0) = 12(2,0) + 0(0,2).

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de beta1, que é (0,1). Queremos encontrar c e d tais que:
(0,1) = c cdot (2,0) + d cdot (0,2)
Isso resulta nas equações:
0 = 2c + 0d 1 = 0c + 2d

Passo 7

Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
0 = 2c Rightarrow c = 0
Da segunda equação:
1 = 2d Rightarrow d = 12
Então, (0,1) = 0(2,0) + 12(0,2).

Passo 8

Agora que expressamos os vetores de beta1 em termos de beta4, podemos construir a matriz de mudança de base. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de beta1 na base beta4.
Portanto, temos:
[ I ]beta4^beta1 = 12 & 0 0 & 12

Resposta

A matriz de mudança de base de beta1 para beta4 é:
[ I ]beta4^beta1 = 12 & 0 0 & 12

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