Sejam
e
bases de
Obter:
As matrizes de mudança de base:
As matrizes de mudança de base:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz de mudança de base de
para
em
. A gente vai trabalhar com bases e transformações de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos da outra base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de
é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, não são múltiplos um do outro, e que conseguem representar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares.
Aqui,
é a base canônica, e
é outra base.
Passo 3
A matriz de mudança de base de
para
, denotada por
, é a matriz que transforma coordenadas de vetores na base
para coordenadas na base
.
Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor de
como combinação linear dos vetores de
.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor de
, que é
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso se traduz nas equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de
, que é
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso resulta nas equações:
Passo 7
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então,
.
Passo 8
Agora que expressamos os vetores de
em termos de
, podemos construir a matriz de mudança de base. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de
na base
.
Portanto, temos:
Resposta
A matriz de mudança de base de
para
é: