o ponteiro das horas de um relógio tem 7 cm de comprimento a)quantos graus esse ponteiro percorre das 13 h às 17 h? qual é essa medida em radiano ? b) quantos centímetros sua extremidade percorre das 13 h as 17 h
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o ponteiro das horas de um relógio, que tem 7 cm de comprimento. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) Quantos graus esse ponteiro gira das 13h às 17h e qual esse ângulo em radianos.
b) Quantos centímetros a ponta do ponteiro percorre nesse mesmo período.
Para resolver, vamos usar conceitos de geometria relacionados a círculos, como a medida de ângulos em graus e radianos, e o cálculo de comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantos graus o ponteiro das horas percorre das 13h às 17h. O ponteiro das horas completa uma volta completa (360 graus) em 12 horas. Então, em 1 hora, ele percorre:
Das 13h às 17h são 4 horas. Então, o ângulo total percorrido é:
Passo 3
Agora, vamos converter esse ângulo de graus para radianos. A relação entre graus e radianos é dada por:
Então, para converter 120 graus para radianos, usamos a proporção:
Passo 4
Para descobrir quantos centímetros a ponta do ponteiro percorre, usamos a fórmula do comprimento do arco, que é:
Onde:
- $ s $ é o comprimento do arco,
- $ r $ é o raio do círculo (no caso, o comprimento do ponteiro, 7 cm),
- $ \theta $ é o ângulo em radianos.
Substituindo os valores:
Resposta
a) O ponteiro percorre 120 graus e $ \frac{2\pi}{3} $ radianos das 13h às 17h.
b) A extremidade do ponteiro percorre $ \frac{14\pi}{3} $ centímetros nesse período.