RECOMPENSA: 40 pontos.
Gincana da tarde.
I) Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8.
II) Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0
Boa sorte ksksks.​

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria analítica onde precisamos descobrir o ângulo entre duas retas. Vamos precisar entender as inclinações das retas e usar uma fórmula que calcula o ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte I. As retas são dadas por:
  • r: $ y = 3x + 4 $
  • s: $ y = -2x + 8 $
A inclinação de uma reta na forma $ y = mx + b $ é o valor de $ m $. Então, para a reta r, $ m_1 = 3 $ e para a reta s, $ m_2 = -2 $.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo $ \theta $ entre duas retas:
theta
Essa fórmula te dá o valor da tangente do ângulo entre as retas com inclinações $ m_1 $ e $ m_2 $.

Passo 4

Aplicando os valores das retas da parte I na fórmula:
tan(theta) = | -2 - 31 + (3)(-2) | = | -51 - 6 | = | -5-5 | = 1
Para achar $ \theta $, tiramos o arco tangente de 1:
theta

Passo 5

Agora, vamos para a parte II. As retas são:
  • r: $ x - y = 0 $ que pode ser escrita como $ y = x $, então $ m_1 = 1 $
  • s: $ 3x + 4y - 12 = 0 $ rearranjando dá $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $, então $ m_2 = -\frac{3}{4} $
Usando a mesma fórmula:
x - y = 0
Então:
y = x

Resposta

I) O ângulo entre as retas r e s é de 45^circ.
II) O ângulo entre as retas r e s é de aproximadamente 81,87^circ.

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