No ponto mais alto de um salto com vara, um atleta pode realizar trabalho empurrando a vara antes da mesma o liberá-lo. Supondo que a força de empurrão que a vara exerce sobre o atleta é dado pela função F(x)=150 x(N / m)-190 x^2(N / m^2) atuando a uma distância de 0,2 m. Quanto de trabalho é realizado pelo atleta?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de física onde um atleta está fazendo um salto com vara. Nesse ponto, ele empurra a vara e quer saber quanto de trabalho ele realiza. A força que a vara exerce sobre o atleta é dada por uma função que depende da distância empurrada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é trabalho na física e como calcular usando essa função de força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. Na física, trabalho é a energia transferida quando uma força é aplicada a um objeto e este se move na direção da força. A fórmula geral para calcular o trabalho $ W $ quando a força varia com a posição é através da integral:
W
Aqui, $ F(x) $ é a força aplicada em função da posição $ x $, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração, ou seja, onde o movimento começa e termina.

Passo 3

No nosso caso, a força que a vara exerce sobre o atleta é dada pela função:
F(x) = 150,x , (N/m) - 190,x^2 , (N/m^2)
E o atleta empurra a vara por uma distância de $ 0,2 $ metros. Então, nosso intervalo de integração vai de $ x = 0 $ até $ x = 0,2 $ metros.

Passo 4

Vamos agora substituir os valores na fórmula do trabalho:
W = integral0^0,2 (150,x - 190,x^2) , dx
Para resolver essa integral, precisamos encontrar a antiderivada de $ 150,x - 190,x^{2} $.

Passo 5

Calculando a antiderivada:
integral (150,x - 190,x^2) , dx = 1502 x^2 - 1903 x^3 + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que vamos desprezar porque estamos calculando o trabalho entre dois pontos específicos.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 0,2 metros:
W = [75,x^2 - 1903 x^3]0^0,2
Substituindo $ x = 0,2 $:
x = 0,2
Calculando cada termo:
W = 75 times (0,2)^2 - 1903 times (0,2)^3
75 times 0,04 = 3
Então:
1903 times 0,008 = 190 times 0,0083 approx 0,5067

Resposta

O trabalho realizado pelo atleta é aproximadamente 2,49 Joules.

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