No ponto mais alto de um salto com vara, um atleta pode realizar trabalho empurrando a vara antes da mesma o liberá-lo. Supondo que a força de empurrão que a vara exerce sobre o atleta é dado pela função
atuando a uma distância de
. Quanto de trabalho é realizado pelo atleta?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de física onde um atleta está fazendo um salto com vara. Nesse ponto, ele empurra a vara e quer saber quanto de trabalho ele realiza. A força que a vara exerce sobre o atleta é dada por uma função que depende da distância empurrada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é trabalho na física e como calcular usando essa função de força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. Na física, trabalho é a energia transferida quando uma força é aplicada a um objeto e este se move na direção da força. A fórmula geral para calcular o trabalho $ W $ quando a força varia com a posição é através da integral:
Aqui, $ F(x) $ é a força aplicada em função da posição $ x $, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração, ou seja, onde o movimento começa e termina.
Passo 3
No nosso caso, a força que a vara exerce sobre o atleta é dada pela função:
E o atleta empurra a vara por uma distância de $ 0,2 $ metros. Então, nosso intervalo de integração vai de $ x = 0 $ até $ x = 0,2 $ metros.
Passo 4
Vamos agora substituir os valores na fórmula do trabalho:
Para resolver essa integral, precisamos encontrar a antiderivada de $ 150,x - 190,x^{2} $.
Passo 5
Calculando a antiderivada:
Onde $ C $ é a constante de integração, que vamos desprezar porque estamos calculando o trabalho entre dois pontos específicos.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 0,2 metros:
Substituindo $ x = 0,2 $:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pelo atleta é aproximadamente 2,49 Joules.