Suponha que é uma matriz quadrada de ordem 4 , tal que e calcule:
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 4, ou seja, 4 linhas e 4 colunas. Sabemos que o determinante de é . O exercício pede para calcular o determinante de outra matriz que é formada a partir dos elementos de . Vamos precisar usar propriedades de determinantes, como multiplicação por constantes e troca de colunas.
Passo 2
Primeiro, observe que a matriz cuja determinante queremos calcular é:
Vamos notar que cada elemento dessa matriz é uma combinação dos elementos de , possivelmente envolvendo multiplicações por constantes e trocas de colunas.
Passo 3
Vamos lembrar que o determinante de uma matriz muda de forma específica quando fazemos operações nas colunas:
Multiplicar uma coluna por uma constante : O determinante é multiplicado por .
Trocar duas colunas: O determinante muda de sinal.
Vamos identificar essas operações na matriz que queremos calcular.
Passo 4
Primeiro, observe que na primeira coluna da nova matriz, cada elemento da coluna 1 de 2a14, -2a12, 2a13, 2a11 foi multiplicado por 2:
Então, multiplicamos a primeira coluna de por 2. Como o determinante é multiplicado por 2.
Passo 5
Agora, vamos olhar para as outras colunas:
A segunda coluna da nova matriz corresponde à terceira coluna de a34, -a32, a33, a31 :
a44, -a42, a43, a41
Isso significa que trocamos a segunda coluna da nova matriz pela terceira coluna de a24, -a22, a23, a21 .
A terceira coluna da nova matriz corresponde à quarta coluna de :
Isto é, trocamos a terceira coluna da nova matriz pela quarta coluna de .
A quarta coluna da nova matriz corresponde à segunda coluna de :
Ou seja, trocamos a quarta coluna da nova matriz pela segunda coluna de .
Passo 6
Cada troca de colunas altera o sinal do determinante. Vamos contar quantas trocas fizemos:
Trocar a segunda coluna pela terceira coluna: muda o sinal.
Trocar a terceira coluna pela quarta coluna: muda o sinal.
Trocar a quarta coluna pela segunda coluna: muda o sinal.
No total, fizemos 3 trocas de colunas, e cada troca muda o sinal, então o efeito final é multiplicar o determinante por .
Passo 7
Além das trocas de colunas, multiplicamos a primeira coluna por 2. Isso significa que o determinante final será multiplicado por 2.
Então, combinando tudo:
determinante final = 2 times (-1) times det(A)
Passo 8
Sabemos que determinante final = 2 times (-1) times (-7) = 14 . Substituindo na expressão: