Suponha que A=[ai j] é uma matriz quadrada de ordem 4 , tal que det A=-7 e calcule:
(d) |rrrr2 a14 & a34 & a44 & a24 -2 a12 & -a32 & -a42 & -a22 2 a13 & a33 & a43 & a23 2 a11 & a31 & a41 & a21|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 4, ou seja, 4 linhas e 4 colunas. Sabemos que o determinante de é . O exercício pede para calcular o determinante de outra matriz que é formada a partir dos elementos de . Vamos precisar usar propriedades de determinantes, como multiplicação por constantes e troca de colunas.

Passo 2

Primeiro, observe que a matriz cuja determinante queremos calcular é:
2a14 & a34 & a44 & a24 -2a12 & -a32 & -a42 & -a22 2a13 & a33 & a43 & a23 2a11 & a31 & a41 & a21
Vamos notar que cada elemento dessa matriz é uma combinação dos elementos de , possivelmente envolvendo multiplicações por constantes e trocas de colunas.

Passo 3

Vamos lembrar que o determinante de uma matriz muda de forma específica quando fazemos operações nas colunas:
  1. Multiplicar uma coluna por uma constante : O determinante é multiplicado por .
  2. Trocar duas colunas: O determinante muda de sinal.
Vamos identificar essas operações na matriz que queremos calcular.

Passo 4

Primeiro, observe que na primeira coluna da nova matriz, cada elemento da coluna 1 de 2a14, -2a12, 2a13, 2a11 foi multiplicado por 2:
Então, multiplicamos a primeira coluna de por 2. Como o determinante é multiplicado por 2.

Passo 5

Agora, vamos olhar para as outras colunas:
  • A segunda coluna da nova matriz corresponde à terceira coluna de a34, -a32, a33, a31 :
    a44, -a42, a43, a41
    Isso significa que trocamos a segunda coluna da nova matriz pela terceira coluna de a24, -a22, a23, a21 .
  • A terceira coluna da nova matriz corresponde à quarta coluna de :
    Isto é, trocamos a terceira coluna da nova matriz pela quarta coluna de .
  • A quarta coluna da nova matriz corresponde à segunda coluna de :
    Ou seja, trocamos a quarta coluna da nova matriz pela segunda coluna de .

Passo 6

Cada troca de colunas altera o sinal do determinante. Vamos contar quantas trocas fizemos:
  1. Trocar a segunda coluna pela terceira coluna: muda o sinal.
  2. Trocar a terceira coluna pela quarta coluna: muda o sinal.
  3. Trocar a quarta coluna pela segunda coluna: muda o sinal.
No total, fizemos 3 trocas de colunas, e cada troca muda o sinal, então o efeito final é multiplicar o determinante por .

Passo 7

Além das trocas de colunas, multiplicamos a primeira coluna por 2. Isso significa que o determinante final será multiplicado por 2.
Então, combinando tudo:
determinante final = 2 times (-1) times det(A)

Passo 8

Sabemos que determinante final = 2 times (-1) times (-7) = 14 . Substituindo na expressão:

Resposta

O determinante da matriz dada é .

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