(2 pontos) Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando
tende ao infinito. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente limites de funções racionais e como os termos de diferentes graus se comportam quando
cresce muito. Para resolver, vamos identificar quais termos no numerador e no denominador dominam conforme
aumenta.
Passo 2
Vamos analisar os termos com maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos
e
. Observamos que
dentro da raiz é muito maior que 19 quando
é grande, então
se aproxima de
. No denominador, os termos são
e 1, e claramente
domina quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para simplificar a expressão, vamos fatorar
no numerador e no denominador, já que é o maior grau presente. Reescrevendo a função:
Aqui, dividimos cada termo por
para simplificar os cálculos.
Passo 4
Agora, podemos cancelara
do numerador e do denominador:
À medida que
tende ao infinito,
e
se aproximam de zero. Além disso,
se aproxima de
. Portanto, a expressão simplifica para:
Resposta
O limite é
.