( 0,5 ponto) Considere uma PA com primeiro termo al>0 e razão
tal que
. Analise o sinal de todos os termos desta PA dizendo quais são positivos, negativos ou nulos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma Progressão Aritmética (PA). A PA é uma sequência de números em que a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma, chamada de razão (
). Aqui, o primeiro termo (
) é maior que zero e a razão (
) é negativa. Além disso, sabemos que
. Precisamos descobrir se os termos dessa PA são positivos, negativos ou nulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o primeiro termo e a razão. Sabemos que
. Como
é negativo,
. Então, podemos reescrever:
Como
, isso implica que
. Portanto,
, o que já sabemos.
Passo 3
Agora, vamos expressar os termos da PA. A fórmula geral da PA é:
Como
é negativo, cada termo subsequente será menor que o anterior. Precisamos analisar quando os termos serão positivos, negativos ou nulos.
Passo 4
Vamos encontrar o termo que torna a PA nula (
):
Substituindo
(já que
):
Como
, então
.
Passo 5
Isso significa que o quarto termo (
) é zero. Agora, vamos ver os sinais dos termos:
-
Termos 1 a 3 (
a ): Como e estamos adicionando uma razão negativa, os termos vão diminuindo, mas ainda são positivos até o quarto termo. -
Termo 4 (
): É nulo. -
Termos após o quarto (
em diante): Como a razão é negativa, a partir do quinto termo os valores serão negativos e continuarão diminuindo.
Resposta
Todos os termos da PA são positivos nos três primeiros termos (
,
,
), o quarto termo (
) é nulo, e a partir do quinto termo em diante (
,
, …) são negativos.
Exercícios relacionados
Escreva as seguintes expressões sem utilizar sinais do valor absoluto, separando em dois ou mais casos quando for necessário (veja o modelo abaixo):
b)
Seja
e
Calcule e
.
Calcule
Seja
e
.
Use a Regra da Cadeia para caminhos para calcular .
Use a Regra da Cadeia para caminhos para calcular
(0,5 ponto) Considere uma progressão aritmética com primeiro termo igual a 10 e razão igual a -2. Calcule o sexto e o vigésimo termo desta PA. Quanto é a soma dos 30 primeiros termos desta PA?