( 0,5 ponto) Considere uma PA com primeiro termo al>0 e razão r < 0 tal que a1 = 3|r|. Analise o sinal de todos os termos desta PA dizendo quais são positivos, negativos ou nulos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma Progressão Aritmética (PA). A PA é uma sequência de números em que a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma, chamada de razão ( r). Aqui, o primeiro termo ( ) é maior que zero e a razão ( r) é negativa. Além disso, sabemos que . Precisamos descobrir se os termos dessa PA são positivos, negativos ou nulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o primeiro termo e a razão. Sabemos que . Como r é negativo, . Então, podemos reescrever:
Como , isso implica que . Portanto, , o que já sabemos.

Passo 3

Agora, vamos expressar os termos da PA. A fórmula geral da PA é:
Como r é negativo, cada termo subsequente será menor que o anterior. Precisamos analisar quando os termos serão positivos, negativos ou nulos.

Passo 4

Vamos encontrar o termo que torna a PA nula ( ):
Substituindo (já que ):
Como , então .

Passo 5

Isso significa que o quarto termo ( ) é zero. Agora, vamos ver os sinais dos termos:
  • Termos 1 a 3 ( a ): Como e estamos adicionando uma razão negativa, os termos vão diminuindo, mas ainda são positivos até o quarto termo.
  • Termo 4 ( ): É nulo.
  • Termos após o quarto ( em diante): Como a razão é negativa, a partir do quinto termo os valores serão negativos e continuarão diminuindo.

Resposta

Todos os termos da PA são positivos nos três primeiros termos ( , , ), o quarto termo ( ) é nulo, e a partir do quinto termo em diante ( , , …) são negativos.

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