Seja
e
.
Use a Regra da Cadeia para caminhos para calcular
.
Use a Regra da Cadeia para caminhos para calcular
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de Cálculo que envolve a Regra da Cadeia para caminhos. A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, onde
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a própria Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Basicamente, se você tem uma função composta, como
, a derivada em relação a
envolve derivadas parciais de
em relação a cada uma de suas variáveis, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar as partes que precisamos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 7
Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão:
Podemos fatorar
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: