Seja
e
.
Use a Regra da Cadeia para caminhos para calcular
.
Use a Regra da Cadeia para caminhos para calcular
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de Cálculo que envolve a Regra da Cadeia para caminhos. A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, onde
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a própria Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Basicamente, se você tem uma função composta, como
, a derivada em relação a
envolve derivadas parciais de
em relação a cada uma de suas variáveis, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar as partes que precisamos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 7
Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão:
Podemos fatorar
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
( 0,5 ponto) Considere uma PA com primeiro termo al>0 e razão
tal que
. Analise o sinal de todos os termos desta PA dizendo quais são positivos, negativos ou nulos.
Escreva as seguintes expressões sem utilizar sinais do valor absoluto, separando em dois ou mais casos quando for necessário (veja o modelo abaixo):
b)
(0,5 ponto) Considere uma progressão aritmética com primeiro termo igual a 10 e razão igual a -2. Calcule o sexto e o vigésimo termo desta PA. Quanto é a soma dos 30 primeiros termos desta PA?
Para as equações paramétricas fornecidas, determine os pontos
correspondentes aos valores do parâmetro
e 2 .