Seja f(x, y) = e^(x y) e r(t) = (t^2, 1 + t).
Use a Regra da Cadeia para caminhos para calcular d/dt f(r(t)).

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de Cálculo que envolve a Regra da Cadeia para caminhos. A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , onde e . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a própria Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Basicamente, se você tem uma função composta, como , a derivada em relação a envolve derivadas parciais de em relação a cada uma de suas variáveis, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a .

Passo 3

Vamos identificar as partes que precisamos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 7

Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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