O ponto (3,2) está numa curva e em qualquer ponto (x, y) sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2 x-3. Ache uma equação da curva.

Passo 1

Vamos entender o enunciado do exercício. Temos um ponto (3, 2) que está em uma curva. A inclinação da reta tangente em qualquer ponto (x, y) da curva é dada pela expressão 2x - 3. O que precisamos fazer é encontrar uma equação que descreva essa curva. Estamos lidando com um conteúdo de cálculo diferencial, especificamente com a relação entre a derivada e a função.

Passo 2

A inclinação da reta tangente em um ponto na curva é a derivada da função que define essa curva. Então, podemos escrever que a derivada da curva é:
dydx = 2x - 3
Isso significa que precisamos encontrar a função y(x) cuja derivada é igual a 2x - 3. Para fazer isso, vamos integrar a expressão.

Passo 3

Para encontrar y(x), integramos a derivada:
y = integral (2x - 3) , dx
Aqui, vamos integrar termo a termo. A integral de 2x é x^2, e a integral de -3 é -3x. Portanto, temos:
y = x^2 - 3x + C
onde C é uma constante que precisamos determinar usando o ponto que sabemos que está na curva, que é (3, 2).

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto (3, 2) para encontrar o valor de C. Substituímos x = 3 e y = 2 na equação que encontramos:
2 = (3)^2 - 3(3) + C
Desenvolvendo isso:
2 = 9 - 9 + C
2 = C
Portanto, temos que C = 2.

Passo 5

Substituímos o valor de C de volta na nossa equação:
y = x^2 - 3x + 2
Essa é a equação da curva que estamos procurando.

Resposta

A equação da curva é y = x^2 - 3x + 2.

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