O ponto (3,2) está numa curva e em qualquer ponto
sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a
. Ache uma equação da curva.
Passo 1
Vamos entender o enunciado do exercício. Temos um ponto
que está em uma curva. A inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva é dada pela expressão
. O que precisamos fazer é encontrar uma equação que descreva essa curva. Estamos lidando com um conteúdo de cálculo diferencial, especificamente com a relação entre a derivada e a função.
Passo 2
A inclinação da reta tangente em um ponto na curva é a derivada da função que define essa curva. Então, podemos escrever que a derivada da curva é:
Isso significa que precisamos encontrar a função
cuja derivada é igual a
. Para fazer isso, vamos integrar a expressão.
Passo 3
Para encontrar
, integramos a derivada:
Aqui, vamos integrar termo a termo. A integral de
é
, e a integral de
é
. Portanto, temos:
onde
é uma constante que precisamos determinar usando o ponto que sabemos que está na curva, que é
.
Passo 4
Agora, vamos usar o ponto
para encontrar o valor de
. Substituímos
e
na equação que encontramos:
Desenvolvendo isso:
Portanto, temos que
.
Passo 5
Substituímos o valor de
de volta na nossa equação:
Essa é a equação da curva que estamos procurando.
Resposta
A equação da curva é
.