O ponto (3,2) está numa curva e em qualquer ponto sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a . Ache uma equação da curva.

Passo 1

Vamos entender o enunciado do exercício. Temos um ponto que está em uma curva. A inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva é dada pela expressão . O que precisamos fazer é encontrar uma equação que descreva essa curva. Estamos lidando com um conteúdo de cálculo diferencial, especificamente com a relação entre a derivada e a função.

Passo 2

A inclinação da reta tangente em um ponto na curva é a derivada da função que define essa curva. Então, podemos escrever que a derivada da curva é:
Isso significa que precisamos encontrar a função cuja derivada é igual a . Para fazer isso, vamos integrar a expressão.

Passo 3

Para encontrar , integramos a derivada:
Aqui, vamos integrar termo a termo. A integral de é , e a integral de é . Portanto, temos:
onde é uma constante que precisamos determinar usando o ponto que sabemos que está na curva, que é .

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto para encontrar o valor de . Substituímos e na equação que encontramos:
Desenvolvendo isso:
Portanto, temos que .

Passo 5

Substituímos o valor de de volta na nossa equação:
Essa é a equação da curva que estamos procurando.

Resposta

A equação da curva é .

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