_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
26. integral sec ^2(x)raiz1-tan ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida . Para isso, vamos usar técnicas de integração, mais especificamente a substituição. Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas e como fazer substituições para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = sec^2(x) , dx . Assim, precisamos calcular :
Isso é super conveniente porque aparece exatamente no numerador da nossa integral.

Passo 3

Com a substituição, nossa integral fica:
integral sec^2(x)raiz1 - tan^2(x) , dx = integral duraiz1 - u^2
Agora, a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 4

A integral arcsin(u) + C é uma integral padrão que conhecemos da função arco seno. A antiderivada dessa expressão é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos arcsin(tan(x)) + C de volta na expressão:

Resposta

A solução da integral é:
arcsin(tan(x)) + C

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