Verifique que, para todo natural , tem-se

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, para qualquer número natural , a integral de em relação a é igual a:
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos usar um método chamado integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Onde e são partes da função que queremos integrar. Nosso objetivo é escolher e de forma que a integral se simplifique.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes à nossa integral . Vamos fazer as seguintes escolhas:
Agora, precisamos encontrar e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo , , :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica . Assim:
Distribuindo a multiplicação:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
Vamos reorganizar para isolar :
Somando as integrais:

Passo 7

Finalmente, dividimos ambos os lados por para resolver para :

Resposta

Portanto, demonstramos que para todo número natural :

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26.
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: (a) . (b) .
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, e são constantes determinadas por medidas no ponto de gelo, no ponto de vapor e no ponto do zinco.
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(b) Faça o gráfico de versus na faixa de 0 a .