Verifique que, para todo natural n, tem-se
integral sen^n x d x=-1n sen^n-1 x cos x+n-1n integral sen^n-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, para qualquer número natural integral sin^n x , dx = -1n sin^n-1 x cos x + n-1n integral sin^n-2 x , dx , a integral de em relação a é igual a:
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos usar um método chamado integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Onde e são partes da função que queremos integrar. Nosso objetivo é escolher e de forma que a integral se simplifique.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes à nossa integral u = sin^n-1 x e dv = sin x , dx . Vamos fazer as seguintes escolhas:
du = (n-1) sin^n-2 x cos x , dx (derivando ( u ))
Agora, precisamos encontrar v = -cos x (integando ( dv )) e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral sin^n x , dx = u v - integral v , du
Substituindo integral sin^n x , dx = sin^n-1 x (-cos x) - integral (-cos x) (n-1) sin^n-2 x cos x , dx , = -sin^n-1 x cos x + (n-1) integral sin^n-2 x cos^2 x , dx , :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que integral sin^n-2 x cos^2 x , dx = integral sin^n-2 x (1 - sin^2 x) , dx pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica = integral sin^n-2 x , dx - integral sin^n x , dx . Assim:
Distribuindo a multiplicação:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral sin^n x , dx = -sin^n-1 x cos x + (n-1) ( integral sin^n-2 x , dx - integral sin^n x , dx )
Vamos reorganizar para isolar integral sin^n x , dx + (n-1) integral sin^n x , dx = -sin^n-1 x cos x + (n-1) integral sin^n-2 x , dx :
n integral sin^n x , dx = -sin^n-1 x cos x + (n-1) integral sin^n-2 x , dx
Somando as integrais:

Passo 7

Finalmente, dividimos ambos os lados por integral sin^n x , dx = -1n sin^n-1 x cos x + n-1n integral sin^n-2 x , dx para resolver para :

Resposta

Portanto, demonstramos que para todo número natural integral sin^n x , dx = -1n sin^n-1 x cos x + n-1n integral sin^n-2 x , dx :

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