Verifique que, para todo natural
, tem-se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, para qualquer número natural
, a integral de
em relação a
é igual a:
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos usar um método chamado integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Onde
e
são partes da função que queremos integrar. Nosso objetivo é escolher
e
de forma que a integral se simplifique.
Passo 3
Vamos aplicar a integração por partes à nossa integral
. Vamos fazer as seguintes escolhas:
Agora, precisamos encontrar
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica
. Assim:
Distribuindo a multiplicação:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Vamos reorganizar para isolar
:
Somando as integrais:
Passo 7
Finalmente, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
Portanto, demonstramos que para todo número natural
: