Verifique que, para todo natural
, tem-se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, para qualquer número natural
, a integral de
em relação a
é igual a:
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos usar um método chamado integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Onde
e
são partes da função que queremos integrar. Nosso objetivo é escolher
e
de forma que a integral se simplifique.
Passo 3
Vamos aplicar a integração por partes à nossa integral
. Vamos fazer as seguintes escolhas:
Agora, precisamos encontrar
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica
. Assim:
Distribuindo a multiplicação:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Vamos reorganizar para isolar
:
Somando as integrais:
Passo 7
Finalmente, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
Portanto, demonstramos que para todo número natural
:
Exercícios relacionados
O ponto (3,2) está numa curva e em qualquer ponto
sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a
. Ache uma equação da curva.
_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
26.
26.
O ponto de ebulição e o ponto de fusão da água na escala Fahrenheit foram escolhidos de modo que a diferença entre as duas temperaturas fosse de
, um número que é divisível por 2, 3, 4, 5, 6 e 9 . Estabeleça uma nova escala de temperatura
de modo que o zero absoluto seja
e
.
(a) Qual a fórmula de conversão de Celsius para S?
(b) Determine e
em S .
: (a)
. (b)
.
(a) Qual a fórmula de conversão de Celsius para S?
(b) Determine
Num intervalo entre
, um termômetro de resistência, de platina, de especificações definidas é usado para temperaturas interpoladas da Escala Prática de Temperatura. A Celsius
é dada por uma fórmula de variação da resistência com a temperatura:
O ponto de fusão do zinco é 692,664K.
(a) Se
(b) Faça o gráfico de