(1,0 ponto) Dados os vetores u=(15, 17) e v=(-1,1) : Mostre que w=(-raiz22, raiz22) é um vetor unitário na direção do vetor v.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
  • u = (15, 17)
  • v = (-1, 1)
E nos pedem para mostrar que o vetor w = (-raiz22, raiz22) é um vetor unitário na direção de v.
Conteúdo da matéria: Vetores, magnitude (ou norma) de vetores e vetores unitários.
O que precisamos para resolver:
  1. Calcular a magnitude do vetor v.
  2. Encontrar um vetor unitário na direção de v utilizando a magnitude calculada.
  3. Comparar o vetor unitário encontrado com o vetor w dado na questão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude do vetor v = (-1, 1). A magnitude de um vetor a = (ax, ay) é dada por:
|a| = raizax^2 + ay^2
Aplicando isso ao vetor v:
|v| = raiz(-1)^2 + (1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 3

Agora que sabemos que a magnitude de v é raiz2, podemos encontrar um vetor unitário na direção de v. Um vetor unitário é um vetor com magnitude igual a 1.
Para encontrar o vetor unitário uv na dire��ão de v, dividimos cada componente de v pela sua magnitude:
uv = ( vx|v|, vy|v| ) = ( -1raiz2, 1raiz2 )

Passo 4

Vamos simplificar as frações multiplicando o numerador e o denominador por raiz2 para racionalizar:
uv = ( -1raiz2 times raiz2raiz2, 1raiz2 times raiz2raiz2 ) = ( -raiz22, raiz22 )

Passo 5

Observamos que o vetor unitário que encontramos é:
uv = ( -raiz22, raiz22 )
Este é exatamente o vetor w fornecido na questão. Portanto, concluímos que w é um vetor unitário na direção de v.

Resposta

O vetor w = (-raiz22, raiz22) é realmente um vetor unitário na direção do vetor v = (-1, 1).

Exercícios relacionados