Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funções são lineares? .

Passo 1

Aqui temos um problema de álgebra linear. A questão nos pede para determinar se a função é linear, onde é uma matriz fixa não nula. Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e verificar se satisfaz as duas propriedades fundamentais de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma transformação linear. Uma função entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)
Vamos verificar se a função satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Seja . Então:
Portanto, a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e . Então:
Assim, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é linear.

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