Sejam
e B é uma matriz não nula fixada em
, quais das seguintes funções são lineares?
.
Passo 1
Aqui temos um problema de álgebra linear. A questão nos pede para determinar se a função
é linear, onde
é uma matriz fixa não nula. Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e verificar se
satisfaz as duas propriedades fundamentais de linearidade: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa uma transformação linear. Uma função
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
-
(Aditividade) -
(Homogeneidade)
Vamos verificar se a função
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Seja
. Então:
Portanto, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Assim, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é linear.
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.
Sejam
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.
Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funções
abaixo é linear:
. (Diferença para frente)
(1,0 ponto) Dados os vetores
e
: Mostre que
é um vetor unitário na direção do vetor
.