Sejam V=F^n times n e B é uma matriz não nula fixada em V, quais das seguintes funções são lineares? T(A)=B^t A B.

Passo 1

Aqui temos um problema de álgebra linear. A questão nos pede para determinar se a função é linear, onde é uma matriz fixa não nula. Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e verificar se satisfaz as duas propriedades fundamentais de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma transformação linear. Uma função entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)
Vamos verificar se a função satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Seja T(A + C) = B^t (A + C) B = B^t A B + B^t C B = T(A) + T(C) . Então:
Portanto, a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cA) = B^t (cA) B = c (B^t A B) = c T(A) um escalar e . Então:
Assim, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é linear.

Exercícios relacionados