Sejam V=F(R, R) e h in R fixado. Mostre que cada uma das funções T: V V abaixo é linear: (T f)(x)=f(x)-f(x-h). (Diferença para trás)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um conjunto que é o conjunto de todas as funções de para . Nos foi dada uma função fixa em e uma transformação que age sobre essas funções da seguinte forma: para qualquer função em , . Nosso objetivo é mostrar que essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser linear, ou seja, satisfazer as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Uma transformação é linear se, para quaisquer funções em e para qualquer escalar , as seguintes condições forem satisfeitas:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)
    Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a aditividade: queremos mostrar que T(f + g)(x) = (f + g)(x) - (f + g)(x - h) = f(x) + g(x) - f(x - h) - g(x - h) = [f(x) - f(x - h)] + [g(x) - g(x - h)] = T(f)(x) + T(g)(x) .
Calculando :
Assim, a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade: queremos mostrar que T(alpha f)(x) = alpha f(x) - alpha f(x - h) = alpha [f(x) - f(x - h)] = alpha T(f)(x) .
Calculando :
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, concluímos que a transformação definida por é linear.

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