Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Diferença para trás)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um conjunto que é o conjunto de todas as funções de para . Nos foi dada uma função fixa em e uma transformação que age sobre essas funções da seguinte forma: para qualquer função em , . Nosso objetivo é mostrar que essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser linear, ou seja, satisfazer as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Uma transformação é linear se, para quaisquer funções em e para qualquer escalar , as seguintes condições forem satisfeitas:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)
    Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a aditividade: queremos mostrar que .
Calculando :
Assim, a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade: queremos mostrar que .
Calculando :
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, concluímos que a transformação definida por é linear.

Exercícios relacionados

As coordenadas dos pontos devem satisfazer a equação desta parábola, isto é:
ou:
sistema cuja solução é e .
Logo, a equação da parábola é:
(1,0 ponto) Dados os vetores e : Mostre que é um vetor unitário na direção do vetor .
Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Valor médio)
(1,5 pontos) Prove que o triângulo de vértices e é um triângulo retângulo em .