Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funções
abaixo é linear:
. (Diferença para trás)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um conjunto
que é o conjunto de todas as funções de
para
. Nos foi dada uma função
fixa em
e uma transformação
que age sobre essas funções da seguinte forma: para qualquer função
em
,
. Nosso objetivo é mostrar que essa transformação
é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser linear, ou seja, satisfazer as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Uma transformação
é linear se, para quaisquer funções
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições forem satisfeitas:
-
(Aditividade) -
(Homogeneidade)
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a transformaçãodada.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a aditividade: queremos mostrar que
.
Calculando :
Calculando
Assim, a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade: queremos mostrar que
.
Calculando :
Calculando
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, concluímos que a transformação
definida por
é linear.