Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Diferença para trás)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um conjunto que é o conjunto de todas as funções de para . Nos foi dada uma função fixa em e uma transformação que age sobre essas funções da seguinte forma: para qualquer função em , . Nosso objetivo é mostrar que essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser linear, ou seja, satisfazer as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Uma transformação é linear se, para quaisquer funções em e para qualquer escalar , as seguintes condições forem satisfeitas:
(Aditividade)
(Homogeneidade)
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a transformação dada.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a aditividade: queremos mostrar que .
Calculando :
Assim, a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade: queremos mostrar que .
Calculando :
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, concluímos que a transformação definida por é linear.