Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Diferença para frente)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformação , definida por , é linear. Isso envolve entender o que é uma transformação linear e verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Para resolver, vamos ver se satisfaz essas duas propriedades usando funções e no espaço e um número real .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que queremos ver se .
Calculemos :
Agora, calculemos :
Vemos que:
Portanto, a transformação satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que queremos ver se , onde é um escalar real.
Calculemos :
Agora, calculemos :
Vemos que:
Portanto, a transformação também satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Resposta
Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que a transformação definida por é linear.