Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funções
abaixo é linear:
. (Diferença para frente)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformação
, definida por
, é linear. Isso envolve entender o que é uma transformação linear e verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Para resolver, vamos ver se
satisfaz essas duas propriedades usando funções
e
no espaço
e um número real
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que queremos ver se
.
Calculemos
:
Agora, calculemos
:
Vemos que:
Portanto, a transformação
satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que queremos ver se
, onde
é um escalar real.
Calculemos
:
Agora, calculemos
:
Vemos que:
Portanto, a transformação
também satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que a transformação
definida por
é linear.