Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Diferença para frente)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformação , definida por , é linear. Isso envolve entender o que é uma transformação linear e verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Para resolver, vamos ver se satisfaz essas duas propriedades usando funções e no espaço e um número real .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que queremos ver se .
Calculemos :
Agora, calculemos :
Vemos que:
Portanto, a transformação satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que queremos ver se , onde é um escalar real.
Calculemos :
Agora, calculemos :
Vemos que:
Portanto, a transformação também satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que a transformação definida por é linear.

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Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funções são lineares? .
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(1,0 ponto) Dados os vetores e : Mostre que é um vetor unitário na direção do vetor .
As coordenadas dos pontos devem satisfazer a equação desta parábola, isto é:
ou:
sistema cuja solução é e .
Logo, a equação da parábola é: