Sejam V=F(R, R) e h in R fixado. Mostre que cada uma das funções T: V V abaixo é linear: (T f)(x)=f(x+h)-f(x). (Diferença para frente)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformação , definida por , é linear. Isso envolve entender o que é uma transformação linear e verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Para resolver, vamos ver se satisfaz essas duas propriedades usando funções e no espaço e um número real .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que queremos ver se T(f + g)(x) = (f + g)(x + h) - (f + g)(x) = f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x) .
Calculemos T(f)(x) + T(g)(x) = [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)] = f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x) :
T(f + g)(x) = T(f)(x) + T(g)(x)
Agora, calculemos :
Vemos que:
Portanto, a transformação satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que queremos ver se T(a f)(x) = a f(x + h) - a f(x) = a [f(x + h) - f(x)] , onde a T(f)(x) = a [f(x + h) - f(x)] é um escalar real.
Calculemos T(a f)(x) = a T(f)(x) :
Agora, calculemos :
Vemos que:
Portanto, a transformação também satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que a transformação definida por é linear.

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