(1,0 ponto) Encontre o volume do sólido delimitado pelos paraboloides -3 x^2 - 8 y^2 + 36 = ze x^2 + y^2 = z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o volume do sólido que é delimitado por dois paraboloides: e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, e mudar para coordenadas que facilitem nossos cálculos, como coordenadas polares modificadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a região onde esses dois paraboloides se interceptam. Igualando as duas equações:
Vamos rearranjar essa equação:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos de 3 na direção de e 2 na direção de . Essa elipse será nossa região de integração.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforma essa elipse em um círculo unitário. Vamos definir:
Com essa substituição, a equação da elipse vira:
Agora, nossa região de integração é o círculo unitário .

Passo 4

Agora, vamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar o elemento de área na integral. O Jacobiano é dado por:
Então, .

Passo 5

Vamos expressar a diferença entre as duas funções em termos de e :
Substituindo e :

Passo 6

Agora, nossa integral para o volume fica:
íá
Simplificando:
íá

Passo 7

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares em e :
O elemento de área em coordenadas polares é , e . A integral fica:
Simplificando mais:

Passo 8

Calculando as integrais:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido delimitado pelos paraboloides é unidades cúbicas.

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Determine o maior número real positivo r tal que 4 - r < 4 + r < 2.5.
Em cada caso, determine (se houver) max(A), min(A), sup(A) e inf(A) :
A = { 1/n : n em N* }