(1,0 ponto) Encontre o volume do sólido delimitado pelos paraboloides .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o volume do sólido que é delimitado por dois paraboloides: e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, e mudar para coordenadas que facilitem nossos cálculos, como coordenadas polares modificadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a região onde esses dois paraboloides se interceptam. Igualando as duas equações:
Vamos rearranjar essa equação:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos de 3 na direção de e 2 na direção de . Essa elipse será nossa região de integração.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforma essa elipse em um círculo unitário. Vamos definir:
Com essa substituição, a equação da elipse vira:
Agora, nossa região de integração é o círculo unitário .
Passo 4
Agora, vamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar o elemento de área na integral. O Jacobiano é dado por:
Então, .
Passo 5
Vamos expressar a diferença entre as duas funções em termos de e :
Substituindo e :
Passo 6
Agora, nossa integral para o volume fica:
íá
Simplificando:
íá
Passo 7
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares em e :
O elemento de área em coordenadas polares é , e . A integral fica:
Simplificando mais:
Passo 8
Calculando as integrais:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido delimitado pelos paraboloides é unidades cúbicas.