(1,0 ponto) Encontre o volume do sólido abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2z e acima do paraboloide por x^2 + y^2 = z, em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de volume! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo da esfera e acima do paraboloide usando coordenadas esféricas. Basicamente, vamos calcular o espaço que fica entre essas duas superfícies. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas esféricas e configurar uma integral tripla que nos dará o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para facilitar nosso trabalho. A equação dada é . Podemos reescrevê-la completando o quadrado:
Isso mostra que a esfera tem centro no ponto e raio 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o paraboloide . Esse é um paraboloide circular que se abre para cima. Queremos encontrar a região onde o paraboloide está abaixo da esfera. Para isso, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se intersectam.

Passo 4

Para encontrar a interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo na equação da esfera:
Isso nos dá ou . Portanto, a interseção ocorre quando .

Passo 5

Agora que sabemos a interseção está em , vamos configurar a integral em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
O volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 6

Precisamos determinar os limites de integração:
  • varia de a (rotação completa ao redor do eixo z).
  • varia de a (de cima para o plano xy).
  • varia do paraboloide à esfera. Em termos de e :
    Do paraboloide , que em coordenadas esféricas é .
    Resolvendo para :
    E o limite superior é a esfera (derivado da equação ).

Passo 7

Agora, montamos a integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:

Passo 9

Agora, a integral fica:
Podemos separar as integrais:

Passo 10

Calculando a primeira integral:
Fazendo a substituição , :
A segunda integral envolve , que é mais complexa e, na verdade, não converge no intervalo dado. Isso indica que o volume é limitado pela esfera sem necessidade de subtrair outra parte.

Passo 11

Portanto, o volume do sólido é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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