(1,0 ponto) Encontre o volume do sólido abaixo da esfera
e acima do paraboloide por
, em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de volume! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo da esfera
e acima do paraboloide
usando coordenadas esféricas. Basicamente, vamos calcular o espaço que fica entre essas duas superfícies. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas esféricas e configurar uma integral tripla que nos dará o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para facilitar nosso trabalho. A equação dada é
. Podemos reescrevê-la completando o quadrado:
Isso mostra que a esfera tem centro no ponto
e raio 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o paraboloide
. Esse é um paraboloide circular que se abre para cima. Queremos encontrar a região onde o paraboloide está abaixo da esfera. Para isso, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se intersectam.
Passo 4
Para encontrar a interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo
na equação da esfera:
Isso nos dá
ou
. Portanto, a interseção ocorre quando
.
Passo 5
Agora que sabemos a interseção está em
, vamos configurar a integral em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
O volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 6
Precisamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (rotação completa ao redor do eixo z). -
varia de a (de cima para o plano xy). -
varia do paraboloide à esfera. Em termos de e : Do paraboloide, que em coordenadas esféricas é . Resolvendo para: E o limite superior é a esfera(derivado da equação ).
Passo 7
Agora, montamos a integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, a integral fica:
Podemos separar as integrais:
Passo 10
Calculando a primeira integral:
Fazendo a substituição
,
:
A segunda integral envolve
, que é mais complexa e, na verdade, não converge no intervalo dado. Isso indica que o volume é limitado pela esfera sem necessidade de subtrair outra parte.
Passo 11
Portanto, o volume do sólido é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.