Suponha que
e
são campos vetoriais diferenciáveis e são dependentes do tempo
. Prove as relações abaixo utilizando o tensor de Levi-Civita.
.
[Aqui
é uma função escalar de
diferenciável]
[Aqui
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais que dependem do tempo,
e
, e uma função escalar diferenciável
. Precisamos provar que a derivada em relação ao tempo de
é igual a
. Para isso, vamos usar o tensor de Levi-Civita, que é útil para lidar com produtos vetoriais e propriedades de vetores em diferentes dimensões.
Passo 2
Vamos começar lembrando da definição do tensor de Levi-Civita,
, que é totalmente antissimétrico e é usado para calcular produtos vetoriais. No entanto, para esta prova, vamos utilizá-lo para manipular expressões envolvendo derivadas de vetores e escalares.
Passo 3
A derivada de um produto escalar e vetorial pode ser tratada usando a regra do produto, que é similar à regra do produto em cálculo diferencial. Ou seja, se temos
sendo uma função escalar e
um vetor, então
.
Passo 4
Aplicando essa regra ao nosso caso, temos
como a função escalar e
como o vetor. Então:
Isso já é o que precisamos provar, mas vamos detalhar um pouco mais usando o tensor de Levi-Civita.
Passo 5
Usando o tensor de Levi-Civita para expressar o produto vetorial, podemos reescrever
como
. No entanto, neste caso, como estamos lidando com um produto escalar e não vetorial, o uso direto do tensor é um pouco mais indireto, mas confirma a linearidade da operação de derivação em termos vetoriais.
Passo 6
Finalmente, reconhecemos que a derivada do produto de uma função escalar e um vetor segue a regra do produto, independentemente do uso do tensor de Levi-Civita para manipulações mais complexas. Portanto, concluímos que:
Resposta
A derivada de
em relação ao tempo é igual a
.