Suponha que
e
são campos vetoriais diferenciáveis e são dependentes do tempo
. Prove as relações abaixo utilizando o tensor de Levi-Civita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar uma relação envolvendo a derivada do produto escalar de dois vetores que dependem do tempo, usando o tensor de Levi-Civita. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas de produtos escalares, e um pouco de álgebra tensorial com o tensor de Levi-Civita. Precisamos entender como derivar o produto escalar de dois vetores que mudam com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar de dois vetores. Se temos dois vetores,
e
, o produto escalar deles é dado por:
onde
são as componentes de
, e
são as componentes de
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada desse produto escalar em relação ao tempo
. Ou seja, queremos calcular
. Aplicando a derivada, temos:
Passo 4
Vamos organizar esses termos. Podemos agrupar as derivadas de
com
e vice-versa:
Perceba que cada um dos parênteses representa o produto escalar de um vetor com a derivada do outro.
Passo 5
Reconhecendo que:
e
Podemos reescrever a derivada total como:
Resposta
Então, demonstramos que: