Suponha que A(t) e B(t) são campos vetoriais diferenciáveis e são dependentes do tempo t. Prove as relações abaixo utilizando o tensor de Levi-Civita.
dd t(A cdot B)=B cdot d Ad t+A cdot d Bd t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar uma relação envolvendo a derivada do produto escalar de dois vetores que dependem do tempo, usando o tensor de Levi-Civita. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas de produtos escalares, e um pouco de álgebra tensorial com o tensor de Levi-Civita. Precisamos entender como derivar o produto escalar de dois vetores que mudam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar de dois vetores. Se temos dois vetores, A e B, o produto escalar deles é dado por:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
onde Ax, Ay, Az são as componentes de A, e Bx, By, Bz são as componentes de B.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada desse produto escalar em relação ao tempo t. Ou seja, queremos calcular ddt(A cdot B). Aplicando a derivada, temos:
ddt(A cdot B) = dAxdt Bx + Ax dBxdt + dAydt By + Ay dBydt + dAzdt Bz + Az dBzdt

Passo 4

Vamos organizar esses termos. Podemos agrupar as derivadas de A com B e vice-versa:
ddt(A cdot B) = ( dAxdt Bx + dAydt By + dAzdt Bz ) + ( Ax dBxdt + Ay dBydt + Az dBzdt )
Perceba que cada um dos parênteses representa o produto escalar de um vetor com a derivada do outro.

Passo 5

Reconhecendo que:
B cdot dAdt = dAxdt Bx + dAydt By + dAzdt Bz
e
A cdot dBdt = Ax dBxdt + Ay dBydt + Az dBzdt
Podemos reescrever a derivada total como:
ddt(A cdot B) = B cdot dAdt + A cdot dBdt

Resposta

Então, demonstramos que:
ddt(A cdot B) = B cdot dAdt + A cdot dBdt

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