(2.5 pontos) Encontre uma função tal que , em que . Em seguida, calcule a integral ao londo de uma curva de a .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma função tal que o gradiente dela, , seja igual ao campo vetorial . Depois disso, vamos calcular a integral de linha ao longo de uma curva que vai do ponto até . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradientes e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função tal que . O gradiente é dado por:
Então, temos as seguintes equações:
Vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função arbitrária que depende de e .

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar . Sabemos que:
Substituindo que encontramos:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, vamos usar a terceira equação para encontrar . Sabemos que:
Substituindo com :
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero, já que ela será eliminada ao calcular a diferença na integral.
Então, a função é:

Passo 5

Agora que temos , vamos calcular a integral de linha . Como é o gradiente de , a integral de linha depende apenas dos valores de nos pontos finais da curva . Isso é conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Ou seja:
Vamos calcular cada termo:
Para :
Para :

Resposta

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(2.0 pontos) A força que atua em um ponto do plano coordenado é
em que . Encontre o trabalho realizado por ao longo da metade superior do círculo de a .
(a)(1.0 ponto) Esboce o conjunto , situado no primeiro quadrante, delimitado pelas curvas e .
Resolva as seguintes inequações:
Resolva as seguintes inequações: