(2.5 pontos) Encontre uma função
tal que
, em que
. Em seguida, calcule a integral
ao londo de uma curva
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma função
tal que o gradiente dela,
, seja igual ao campo vetorial . Depois disso, vamos calcular a integral de linha
ao longo de uma curva
que vai do ponto
até
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradientes e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função
tal que
. O gradiente
é dado por:
Então, temos as seguintes equações:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função arbitrária que depende de
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
. Sabemos que:
Substituindo
que encontramos:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos usar a terceira equação para encontrar
. Sabemos que:
Substituindo
com
:
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero, já que ela será eliminada ao calcular a diferença na integral.
Então, a função
é:
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular a integral de linha
. Como
é o gradiente de
, a integral de linha depende apenas dos valores de
nos pontos finais da curva
. Isso é conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Ou seja:
Vamos calcular cada termo:
Para
:
Para
:
Resposta
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(2.0 pontos) A força que atua em um ponto
do plano coordenado é
em que
. Encontre o trabalho realizado por
ao longo da metade superior do círculo
de
a
.
(a)(1.0 ponto) Esboce o conjunto
, situado no primeiro quadrante, delimitado pelas curvas
e
.
Resolva as seguintes inequações:
Resolva as seguintes inequações: