(2.5 pontos) Encontre uma função f tal que nabla f(x, y, z)=F(x, y, z), em que F(x, y, z)= y^2 cos x i+(2 y sen x+e^2 z) j+2 y e^2 z k. Em seguida, calcule a integral integralC F cdot d r ao londo de uma curva C de (0,1,1 / 2) a (pi / 2,3,2).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma função tal que o gradiente dela, , seja igual ao campo vetorial . Depois disso, vamos calcular a integral de linha ao longo de uma curva que vai do ponto até . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradientes e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) tal que partial fpartial x = y^2 cos x . O gradiente partial fpartial y = 2 y sen x + e^2 z é dado por:
partial fpartial z = 2 y e^2 z
Então, temos as seguintes equações:
f(x, y, z) = integral y^2 cos x , dx = y^2 sen x + g(y, z)
Vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função arbitrária que depende de e .

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar partial fpartial y = 2 y sen x + e^2 z . Sabemos que:
Substituindo partialpartial y ( y^2 sen x + g(y, z) ) = 2 y sen x + partial gpartial y = 2 y sen x + e^2 z que encontramos:
Isso implica que:
partial gpartial y = e^2 z
Integrando em relação a g(y, z) = e^2 z y + h(z) :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, vamos usar a terceira equação para encontrar partial fpartial z = 2 y e^2 z . Sabemos que:
partialpartial z ( y^2 sen x + e^2 z y + h(z) ) = 2 y e^2 z + h'(z) = 2 y e^2 z
Substituindo h'(z) = 0 Rightarrow h(z) = constante com f(x, y, z) = y^2 sen x + e^2 z y :
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero, já que ela será eliminada ao calcular a diferença na integral.
Então, a função é:

Passo 5

Agora que temos integralC F cdot d r = f(pi/2, 3, 2) - f(0, 1, 1/2) , vamos calcular a integral de linha f(pi2, 3, 2) = 3^2 sen(pi2) + e^2 cdot 2 cdot 3 = 9 cdot 1 + e^4 cdot 3 = 9 + 3 e^4 . Como f(0, 1, 1/2) = 1^2 sen(0) + e^2 cdot 12 cdot 1 = 1 cdot 0 + e^1 cdot 1 = e é o gradiente de , a integral de linha depende apenas dos valores de nos pontos finais da curva . Isso é conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Ou seja:
Vamos calcular cada termo:
Para :
Para :

Resposta

integralC F cdot d r = (9 + 3 e^4) - e = 9 - e + 3 e^4

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