(2.0 pontos) A força que atua em um ponto
do plano coordenado é
em que
. Encontre o trabalho realizado por
ao longo da metade superior do círculo
de
a
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força
que atua em um ponto
no plano. A força é dada por:
onde
. Queremos encontrar o trabalho realizado por essa força ao longo da metade superior do círculo
, indo de
a
. Vamos precisar dos conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por uma força ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho. O trabalho
realizado por uma força
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
onde
é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Vamos parametrizar o caminho
, que é a metade superior do círculo
. Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Como o raio do círculo é
, podemos escrever:
Para a metade superior,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, que é o vetor diferencial de deslocamento:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da força
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Observamos que os termos se cancelam, resultando em zero.
Passo 7
Portanto, o trabalho realizado pela força
ao longo da metade superior do círculo é: