(2.0 pontos) A força que atua em um ponto do plano coordenado é
em que . Encontre o trabalho realizado por ao longo da metade superior do círculo de a .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força que atua em um ponto no plano. A força é dada por:
onde . Queremos encontrar o trabalho realizado por essa força ao longo da metade superior do círculo , indo de a . Vamos precisar dos conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por uma força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho. O trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
onde é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho , que é a metade superior do círculo . Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Como o raio do círculo é , podemos escrever:
Para a metade superior, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que é o vetor diferencial de deslocamento:

Passo 5

Substituindo e na expressão da força :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Observamos que os termos se cancelam, resultando em zero.

Passo 7

Portanto, o trabalho realizado pela força ao longo da metade superior do círculo é:

Resposta

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