(2.0 pontos) A força que atua em um ponto
do plano coordenado é
em que
. Encontre o trabalho realizado por
ao longo da metade superior do círculo
de
a
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força
que atua em um ponto
no plano. A força é dada por:
onde
. Queremos encontrar o trabalho realizado por essa força ao longo da metade superior do círculo
, indo de
a
. Vamos precisar dos conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por uma força ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho. O trabalho
realizado por uma força
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
onde
é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Vamos parametrizar o caminho
, que é a metade superior do círculo
. Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Como o raio do círculo é
, podemos escrever:
Para a metade superior,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, que é o vetor diferencial de deslocamento:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da força
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Observamos que os termos se cancelam, resultando em zero.
Passo 7
Portanto, o trabalho realizado pela força
ao longo da metade superior do círculo é:
Resposta
Exercícios relacionados
(a)(1.0 ponto) Esboce o conjunto
, situado no primeiro quadrante, delimitado pelas curvas
e
.
(2.5 pontos) Uma aplicação da integral de linha consiste em considerar uma curva
como um fio delgado (ou seja, um fio de pouca espessura) de arame de densidade variável. Se a densidade de massa linear no ponto
é dada por
, então a massa do arame ao longo da curva é
Usando as informações acima, resolva o seguinte problema. A forma de um arame delgado coincide com a parte da parábola
entre
e
. Se a densidade de massa linear no ponto
é diretamente proporcional à distância do próprio ponto
ao eixo
, encontre a massa do arame.
(2.5 pontos) Encontre uma função
tal que
, em que
. Em seguida, calcule a integral
ao londo de uma curva
de
a
.
Resolva as seguintes inequações: