(2.0 pontos) A força que atua em um ponto (x, y) do plano coordenado é
F(x, y) = 4 / (||v(x, y)||^3) * v(x, y)
em que v(x, y) = x * i + y * j. Encontre o trabalho realizado por F ao longo da metade superior do círculo x^2 + y^2 = 9 de (-3, 0) a (3,0).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força que atua em um ponto no plano. A força é dada por:
onde . Queremos encontrar o trabalho realizado por essa força ao longo da metade superior do círculo , indo de a . Vamos precisar dos conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por uma força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho. O trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
onde é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho , que é a metade superior do círculo . Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Como o raio do círculo é , podemos escrever:
Para a metade superior, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que é o vetor diferencial de deslocamento:

Passo 5

Substituindo e na expressão da força :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Observamos que os termos se cancelam, resultando em zero.

Passo 7

Portanto, o trabalho realizado pela força ao longo da metade superior do círculo é:

Resposta

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