Seja
uma matriz de ordem 4 obtida a partir de
após as seguintes operações elementares:
- troca da linha
pela linha
- multiplicação da linha
por
;
- substituição da linha
por
;
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz
de ordem 4 que foi criada a partir de outra matriz
através de algumas operações nas linhas. Nosso objetivo aqui é calcular o determinante de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações nas linhas afetam o determinante e também aplicar algumas propriedades de determinantes relacionadas a transposição, inversa e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando trocamos duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal. Então, na primeira operação, trocamos
por
, o que significa que o determinante de
será o determinante de
multiplicado por
.
Passo 3
Na segunda operação, multiplicamos a linha
por
. Multiplicar uma linha por um escalar
faz com que o determinante seja multiplicado por
. Portanto, o determinante agora é
vezes o determinante de
.
Passo 4
A terceira operação é substituir
por
. Esse tipo de operação é uma combinação linear e, felizmente, não muda o determinante da matriz. Então, até aqui, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Vamos quebrar isso em partes usando propriedades dos determinantes:
- Determinante de uma transposta:
. - Determinante de uma inversa:
. - Determinante de uma matriz elevada a uma potência:
. - Determinante de um escalar vezes uma matriz: Se multiplicarmos uma matriz por um escalar
, o determinante é multiplicado por , onde é a ordem da matriz. Aqui, .
Passo 6
Aplicando essas propriedades:
Substituindo as propriedades:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Sabemos que
. Substituindo isso na expressão:
Passo 9
Calculando
:
Então, temos: