Seja C uma matriz de ordem 4 obtida a partir de A após as seguintes operações elementares:
  • troca da linha L1 pela linha L4 ;
  • multiplicação da linha L2 por 194;
  • substituição da linha L3 por L3-5 L 1;
    Calcule det(3 C^t(C^-1)^3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de ordem 4 que foi criada a partir de outra matriz através de algumas operações nas linhas. Nosso objetivo aqui é calcular o determinante de . Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações nas linhas afetam o determinante e também aplicar algumas propriedades de determinantes relacionadas a transposição, inversa e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando trocamos duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal. Então, na primeira operação, trocamos por , o que significa que o determinante de será o determinante de multiplicado por .

Passo 3

Na segunda operação, multiplicamos a linha por . Multiplicar uma linha por um escalar faz com que o determinante seja multiplicado por . Portanto, o determinante agora é vezes o determinante de .

Passo 4

A terceira operação é substituir det(C) = -194 det(A) por . Esse tipo de operação é uma combinação linear e, felizmente, não muda o determinante da matriz. Então, até aqui, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Vamos quebrar isso em partes usando propriedades dos determinantes:
  1. Determinante de uma transposta: .
  2. Determinante de uma inversa: .
  3. Determinante de uma matriz elevada a uma potência: .
  4. Determinante de um escalar vezes uma matriz: Se multiplicarmos uma matriz por um escalar , o determinante é multiplicado por , onde é a ordem da matriz. Aqui, .

Passo 6

Aplicando essas propriedades:
det(3 C^t (C^-1)^3) = 3^4 det(C^t) det((C^-1)^3)
Substituindo as propriedades:
= 81 cdot det(C) cdot (1det(C))^3

Passo 7

Simplificando a expressão:
81 cdot det(C) cdot 1det(C)^3 = 81 cdot 1det(C)^2

Passo 8

Sabemos que 81 cdot 1(-194 det(A))^2 = 81 cdot 1194^2 det(A)^2 = 81 cdot 94^2 cdot 1det(A)^2 . Substituindo isso na expressão:

Passo 9

Calculando 81 cdot 8836 = 81 times 8000 + 81 times 836 = 648000 + 67,716 = 715,716 :
715,716 cdot 1det(A)^2
Então, temos:

Resposta

det(3 C^t(C^-1)^3) = 715,!716det(A)^2

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