(Ponto extra) Sem utilizar determinantes, explique por que
existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a matriz
tem inversa
sem usar determinantes. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, focando em inversibilidade de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, uma matriz
tem inversa
se existe uma matriz que, quando multiplicada por
, dá a matriz identidade. Em termos mais simples,
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, para que isso seja possível, a matriz
precisa ser não singular, ou seja, deve ter espaço de colunas completo. Isso significa que as colunas de
são linearmente independentes.
Passo 4
Se as colunas de
são linearmente independentes, não tem como uma coluna ser uma combinação das outras. Isso garante que o sistema de equações
tem uma solução única para qualquer vetor
.
Passo 5
Além disso, uma matriz com colunas linearmente independentes tem rank máximo, o que implica que ela mapeia o espaço vetorial de origem de maneira bijetiva (ou seja, um-para-um e sobre).
Passo 6
Como a transformação é bijetiva, existe uma transformação inversa que desfaz a ação de
. Essa transformação inversa é representada pela matriz
.
Resposta
Portanto,
existe porque as colunas de
são linearmente independentes, garantindo que
seja uma matriz não singular com transformação bijetiva, o que permite a existência de uma matriz inversa.