(Ponto extra) Sem utilizar determinantes, explique por que A^-1 existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a matriz tem inversa sem usar determinantes. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, focando em inversibilidade de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, uma matriz tem inversa se existe uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. Em termos mais simples, , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, para que isso seja possível, a matriz precisa ser não singular, ou seja, deve ter espaço de colunas completo. Isso significa que as colunas de são linearmente independentes.

Passo 4

Se as colunas de são linearmente independentes, não tem como uma coluna ser uma combinação das outras. Isso garante que o sistema de equações tem uma solução única para qualquer vetor .

Passo 5

Além disso, uma matriz com colunas linearmente independentes tem rank máximo, o que implica que ela mapeia o espaço vetorial de origem de maneira bijetiva (ou seja, um-para-um e sobre).

Passo 6

Como a transformação é bijetiva, existe uma transformação inversa que desfaz a ação de . Essa transformação inversa é representada pela matriz .

Resposta

Portanto, existe porque as colunas de são linearmente independentes, garantindo que seja uma matriz não singular com transformação bijetiva, o que permite a existência de uma matriz inversa.

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