(2,5 pontos) Verifique que
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos verificar que a integral definida de
a
de
em relação a
é igual a
, onde
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais impróprias e substituições trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a integral é imprópria devido ao limite superior de
. Para facilitar a resolução, faremos uma substituição trigonométrica. Vamos definir
, onde
varia de
a
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da integral. Sabemos que
, então:
Substituindo na integral:
Passo 5
Calculamos a integral de
:
Avaliando de
a
:
Portanto:
Resposta
Exercícios relacionados
(1,5 ponto) Verifique que
Dica: Faça a mudança
e calcule uma integral de linha no círculo unitário.
Questão 2. Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
Questão 7. Avalie a integral
, considerando-a como a parte real de
.