O ponto A fica localizado na origem de um sistema cartesiano XY. O ponto B localiza-se a 3,52 m do pento A, a nordeste. O ponto C localiza-se a 3,52 m do ponto A, a sudeste. (a) Determine o comprimento do segmento de reta entre os pontos B e C. (b) Uma formiga sai da origem, vai até o ponto B e depois até o ponto C. Qual cntre os pontos B Expresse as respostas com o número adequado de algarismos significativos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: o ponto A está na origem de um sistema de coordenadas XY. O ponto B está a 3,52 metros na direção nordeste a partir de A, e o ponto C está a 3,52 metros na direção sudeste a partir de A. A parte (a) do exercício pede para a gente descobrir qual é o comprimento do segmento de reta que liga B e C.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e trigonometria, especificamente o Teorema de Pitágoras e as propriedades dos triângulos. Vamos precisar identificar as coordenadas dos pontos B e C e, em seguida, calcular a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos B e C com base nas direções dadas.
  • Nordeste significa que o ponto B está a um ângulo de 45 graus em relação ao eixo X positivo.
  • Sudeste significa que o ponto C está a um ângulo de -45 graus em relação ao eixo X positivo.
Usando trigonometria, podemos encontrar as coordenadas de cada ponto. A fórmula para encontrar as coordenadas a partir de um ângulo e distância é:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)
Onde:
  • $ r $ é a distância do ponto até a origem.
  • $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo X.

Passo 3

Vamos calcular as coordenadas de B:
xB = 3,52 cdot cos(45^circ) = 3,52 cdot raiz22 approx 2,49 , m
yB = 3,52 cdot sin(45^circ) = 3,52 cdot raiz22 approx 2,49 , m
Então, as coordenadas de B são aproximadamente $ (2,49, m, 2,49, m) $.

Passo 4

Agora, vamos calcular as coordenadas de C:
xC = 3,52 cdot cos(-45^circ) = 3,52 cdot raiz22 approx 2,49 , m
yC = 3,52 cdot sin(-45^circ) = 3,52 cdot (-raiz22) approx -2,49 , m
Então, as coordenadas de C são aproximadamente $ (2,49, m, -2,49, m) $.

Passo 5

Agora que temos as coordenadas de B e C, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:
d = raiz(xC - xB)^2 + (yC - yB)^2
Substituindo os valores:
d = raiz(2,49 - 2,49)^2 + (-2,49 - 2,49)^2 = raiz0 + (-4,98)^2 = raiz0 + 24,80 approx 4,98 , m

Resposta

O comprimento do segmento de reta entre os pontos B e C é aproximadamente 4,98 metros.

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