O ponto A fica localizado na origem de um sistema cartesiano XY. O ponto B localiza-se a
do pento A, a nordeste. O ponto C localiza-se a
do ponto A, a sudeste. (a) Determine o comprimento do segmento de reta entre os pontos B e C. (b) Uma formiga sai da origem, vai até o ponto B e depois até o ponto C. Qual cntre os pontos B Expresse as respostas com o número adequado de algarismos significativos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: o ponto A está na origem de um sistema de coordenadas XY. O ponto B está a 3,52 metros na direção nordeste a partir de A, e o ponto C está a 3,52 metros na direção sudeste a partir de A. A parte (a) do exercício pede para a gente descobrir qual é o comprimento do segmento de reta que liga B e C.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e trigonometria, especificamente o Teorema de Pitágoras e as propriedades dos triângulos. Vamos precisar identificar as coordenadas dos pontos B e C e, em seguida, calcular a distância entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos B e C com base nas direções dadas.
- Nordeste significa que o ponto B está a um ângulo de 45 graus em relação ao eixo X positivo.
- Sudeste significa que o ponto C está a um ângulo de -45 graus em relação ao eixo X positivo.
Usando trigonometria, podemos encontrar as coordenadas de cada ponto. A fórmula para encontrar as coordenadas a partir de um ângulo e distância é:
Onde:
- $ r $ é a distância do ponto até a origem.
- $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo X.
Passo 3
Vamos calcular as coordenadas de B:
Então, as coordenadas de B são aproximadamente $ (2,49, m, 2,49, m) $.
Passo 4
Agora, vamos calcular as coordenadas de C:
Então, as coordenadas de C são aproximadamente $ (2,49, m, -2,49, m) $.
Passo 5
Agora que temos as coordenadas de B e C, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:
Substituindo os valores:
Resposta
O comprimento do segmento de reta entre os pontos B e C é aproximadamente 4,98 metros.