(2 Pontos) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a soma da expectativa da energia cinética (
) com a expectativa da energia potencial (
) é igual à energia total do sistema (
). Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, onde trabalhamos com operadores e valores esperados para descrever energias em sistemas quânticos.
Passo 2
Vamos lembrar que na Mecânica Quântica, a energia total
de um sistema é dada pela aplicação do operador Hamiltoniano (
) ao estado do sistema. O Hamiltoniano é a soma dos operadores de energia cinética (
) e energia potencial (
):
Passo 3
A expectativa de um operador em um estado
é calculada pela expressão:
Aplicando isso ao Hamiltoniano, temos:
Passo 4
Como os operadores de energia cinética e potencial são lineares, podemos separar as expectativas:
Passo 5
Sabemos que, para um estado próprio de energia, a expectativa do Hamiltoniano é igual à energia própria
:
Resposta
Portanto,
.