Um ponto localizado no R? pode ser definido pela distância d deste ponto à origem do sistema e pelo ângulo e que esta distância forma com o eixo das abcissas. Este é um sistema de coordenadas polares onde qualquer ponto P deste espaço pode ser representado por P(d, 0). Sabendo que o ponto P tem coordenadas cartesianas (12, 2), quais são as respectivas coordenadas polares?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares! O enunciado nos dá um ponto $ P(12, 2) $ no sistema cartesiano e quer saber como ele fica no sistema polar. Para isso, precisamos entender as fórmulas que conectam esses dois sistemas de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no sistema polar, um ponto é definido por duas coisas: a distância da origem até o ponto ($ d
\theta $) que essa distância faz com o eixo das abscissas (eixo $ x $). Então, para encontrar $ d $ e $ \theta $, usamos as seguintes fórmulas:
Passo 3
Vamos calcular a distância $ d $ primeiro. Substituindo os valores de $ x = 12 $ e $ y = 2 $ na fórmula:
Calculando a raiz quadrada de 148:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo $ \theta $. Usamos a fórmula do arco-tangente:
Calculando o arco-tangente de $ \frac{1}{6} $:
Resposta
As coordenadas polares do ponto $ P(12, 2) $ são aproximadamente $ P(12,17, 9,46^\circ) $.