Numa universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas 3 faculdades. Sabendo-se que esta universidade somente mantém as 3 faculdades, quantos alunos estão matriculados na universidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre quantos alunos estão matriculados numa universidade que só tem três faculdades: Física, Biologia e Química. A gente sabe quantos estudam cada uma dessas áreas, quantos estudam duas delas e até quantos estudam as três juntas. Para resolver isso, vamos usar a Teoria dos Conjuntos, mais especificamente o Princípio da Inclusão-Exclusão, que ajuda a contar itens em grupos que se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os números que a gente tem:
  • Alunos que estudam Física: 80
  • Alunos que estudam Biologia: 90
  • Alunos que estudam Química: 55
  • Alunos que estudam Biologia e Física: 32
  • Alunos que estudam Química e Física: 23
  • Alunos que estudam Biologia e Química: 16
  • Alunos que estudam as três, ou seja, Biologia, Física e Química: 8

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos. A fórmula para encontrar o total de alunos (N) é:
N = Física + Biologia + Química - (Biologia e Física) - (Química e Física) - (Biologia e Química) + (Biologia, Física e Química) íííííííí
Isso porque, ao somar os alunos de cada faculdade, a gente está contando duas vezes quem estuda em duas áreas e três vezes quem estuda nas três. Por isso, subtrai essas intersecções e adiciona novamente quem estava contado de mais.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
N = 80 + 90 + 55 - 32 - 23 - 16 + 8

Passo 5

Agora, vamos fazer as contas passo a passo:
  1. Somar Física, Biologia e Química:
80 + 90 + 55 = 225
  1. Subtrair os que estudam Biologia e Física:
225 - 32 = 193
  1. Subtrair os que estudam Química e Física:
193 - 23 = 170
  1. Subtrair os que estudam Biologia e Química:
170 - 16 = 154
  1. Finalmente, adicionar os que estudam as três áreas:
154 + 8 = 162

Resposta

Então, a quantidade total de alunos matriculados na universidade é 162.

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