Numa universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas 3 faculdades. Sabendo-se que esta universidade somente mantém as 3 faculdades, quantos alunos estão matriculados na universidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre quantos alunos estão matriculados numa universidade que só tem três faculdades: Física, Biologia e Química. A gente sabe quantos estudam cada uma dessas áreas, quantos estudam duas delas e até quantos estudam as três juntas. Para resolver isso, vamos usar a Teoria dos Conjuntos, mais especificamente o Princípio da Inclusão-Exclusão, que ajuda a contar itens em grupos que se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os números que a gente tem:
- Alunos que estudam Física: 80
- Alunos que estudam Biologia: 90
- Alunos que estudam Química: 55
- Alunos que estudam Biologia e Física: 32
- Alunos que estudam Química e Física: 23
- Alunos que estudam Biologia e Química: 16
- Alunos que estudam as três, ou seja, Biologia, Física e Química: 8
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos. A fórmula para encontrar o total de alunos (N) é:
Isso porque, ao somar os alunos de cada faculdade, a gente está contando duas vezes quem estuda em duas áreas e três vezes quem estuda nas três. Por isso, subtrai essas intersecções e adiciona novamente quem estava contado de mais.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos fazer as contas passo a passo:
- Somar Física, Biologia e Química:
- Subtrair os que estudam Biologia e Física:
- Subtrair os que estudam Química e Física:
- Subtrair os que estudam Biologia e Química:
- Finalmente, adicionar os que estudam as três áreas:
Resposta
Então, a quantidade total de alunos matriculados na universidade é 162.