(a) Um ponto luminoso move-se com velocidade em direção a um espelho esférico, ao longo de seu eixo. Mostre que a imagem deste objeto puntual está se movendo com velocidade dada por . (b) Explique 0 que ocorre quando e o que significa o sinal negativo. © Suponha que o espelho seja côncavo, com e que . Determine a velocidade da imagem quando o objeto estiver longe ( ), próximo ao ponto focal ( ) e bem próximo ao espelho ( ).

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre o movimento de uma imagem formada por um espelho esférico. A matéria envolvida é a óptica geométrica, especificamente as leis de formação de imagens em espelhos. Para resolver, vamos utilizar a fórmula dos espelhos esféricos e conceitos de movimento relativo entre objeto e imagem.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que a velocidade da imagem é dada por .
Primeiro, precisamos lembrar a equação dos espelhos esféricos:
Onde:
  • é a distância do objeto ao espelho,
  • é a distância da imagem ao espelho,
  • é a distância focal do espelho.
Como o objeto está se movendo em direção ao espelho com velocidade , temos que está diminuindo com o tempo, ou seja, .
Precisamos encontrar .

Passo 3

Vamos diferenciar a equação dos espelhos esféricos em relação ao tempo para relacionar as velocidades:
Como é constante, a derivada do lado direito é zero:

Passo 4

Isolando :
Multiplicando ambos os lados por :
Substituindo :

Passo 5

Precisamos expressar em termos de e para substituir na equação acima. Da equação dos espelhos esféricos:
Então:

Passo 6

Substituindo na expressão para :
Portanto:

Passo 7

Parte (b): O que ocorre quando e o que significa o sinal negativo.
Quando se aproxima de :
  • O denominador tende a zero, o que faz com que tenda ao infinito. Isso indica que a imagem está se movendo muito rapidamente, praticamente no infinito, quando o objeto está muito próximo do ponto focal.
O sinal negativo em indica a direção da velocidade da imagem em relação à do objeto. Especificamente:
  • Se é positivo (objeto se movendo em direção ao espelho), será negativo, indicando que a imagem se move na direção oposta ao objeto.

Passo 8

Parte ©: Determinar a velocidade da imagem para um espelho côncavo com cm e cm/s em diferentes posições do objeto.
Primeiro, calculamos a distância focal para um espelho côncavo:
Agora, usamos a fórmula para :
Vamos calcular para cada posição:
  1. Quando cm (objeto longe):
  1. Quando cm (próximo ao ponto focal):
  1. Quando cm (bem próximo ao espelho):

Resposta

(a) A velocidade da imagem é .
(b) Quando , a velocidade da imagem tende ao infinito, indicando que a imagem está no infinito. O sinal negativo mostra que a imagem se move na direção oposta ao movimento do objeto.
© As velocidades da imagem são:
  • Para cm: cm/s
  • Para cm: cm/s
  • Para cm: cm/s

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