(a) Um ponto luminoso move-se com velocidade vo em direção a um espelho esférico, ao longo de seu eixo. Mostre que a imagem deste objeto puntual está se movendo com velocidade dada por vs^prime=-f^2 vs /(s-f)^2. (b) Explique 0 que ocorre quando s f e o que significa o sinal negativo. © Suponha que o espelho seja côncavo, com r=15 cm e que vs=5 cm / s. Determine a velocidade da imagem quando o objeto estiver longe ( s=30 cm ), próximo ao ponto focal ( s=8 cm ) e bem próximo ao espelho ( s=0.1 cm ).

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre o movimento de uma imagem formada por um espelho esférico. A matéria envolvida é a óptica geométrica, especificamente as leis de formação de imagens em espelhos. Para resolver, vamos utilizar a fórmula dos espelhos esféricos e conceitos de movimento relativo entre objeto e imagem.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que a velocidade da imagem é dada por 1s + 1s' = 1f .
Primeiro, precisamos lembrar a equação dos espelhos esféricos:
Onde:
  • é a distância do objeto ao espelho,
  • é a distância da imagem ao espelho,
  • é a distância focal do espelho.
Como o objeto está se movendo em direção ao espelho com velocidade , temos que está diminuindo com o tempo, ou seja, .
Precisamos encontrar .

Passo 3

Vamos diferenciar a equação dos espelhos esféricos em relação ao tempo para relacionar as velocidades:
ddt(1s + 1s') = ddt(1f)
Como -1s^2 dsdt - 1s'^2 ds'dt = 0 é constante, a derivada do lado direito é zero:

Passo 4

Isolando -1s'^2 ds'dt = 1s^2 dsdt :
ds'dt = -s'^2 1s^2 dsdt
Multiplicando ambos os lados por vs' = -s'^2s^2 (-vs) = s'^2 vss^2 :
Substituindo :

Passo 5

Precisamos expressar 1s' = 1f - 1s = s - ff s em termos de s' = f ss - f e para substituir na equação acima. Da equação dos espelhos esféricos:
Então:

Passo 6

Substituindo vs' = (f ss - f)^2 vss^2 = f^2 s^2 vs(s - f)^2 s^2 = f^2 vs(s - f)^2 na expressão para vs' = -f^2 vs(s - f)^2 :
Portanto:

Passo 7

Parte (b): O que ocorre quando e o que significa o sinal negativo.
Quando se aproxima de :
  • O denominador tende a zero, o que faz com que tenda ao infinito. Isso indica que a imagem está se movendo muito rapidamente, praticamente no infinito, quando o objeto está muito próximo do ponto focal.
O sinal negativo em indica a direção da velocidade da imagem em relação à do objeto. Especificamente:
  • Se é positivo (objeto se movendo em direção ao espelho), será negativo, indicando que a imagem se move na direção oposta ao objeto.

Passo 8

Parte ©: Determinar a velocidade da imagem para um espelho côncavo com f = r2 = 15 , cm2 = 7,5 , cm cm e vs' = -f^2 vs(s - f)^2 cm/s em diferentes posições do objeto.
Primeiro, calculamos a distância focal vs' = -7,5^2 times 5(30 - 7,5)^2 = -56,25 times 5506,25 = -281,25506,25 approx -0,56 , cm/s para um espelho côncavo:
vs' = -7,5^2 times 5(8 - 7,5)^2 = -56,25 times 50,25^2 = -281,250,0625 = -4500 , cm/s
Agora, usamos a fórmula para vs' = -7,5^2 times 5(0,1 - 7,5)^2 = -56,25 times 5(-7,4)^2 = -281,2554,76 approx -5,14 , cm/s :
Vamos calcular para cada posição:
  1. Quando cm (objeto longe):
  1. Quando cm (próximo ao ponto focal):
  1. Quando cm (bem próximo ao espelho):

Resposta

(a) A velocidade da imagem é .
(b) Quando , a velocidade da imagem tende ao infinito, indicando que a imagem está no infinito. O sinal negativo mostra que a imagem se move na direção oposta ao movimento do objeto.
© As velocidades da imagem são:
  • Para cm: cm/s
  • Para cm: cm/s
  • Para cm: cm/s

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