(a) Um ponto luminoso move-se com velocidade
em direção a um espelho esférico, ao longo de seu eixo. Mostre que a imagem deste objeto puntual está se movendo com velocidade dada por
. (b) Explique 0 que ocorre quando
e o que significa o sinal negativo. © Suponha que o espelho seja côncavo, com
e que
. Determine a velocidade da imagem quando o objeto estiver longe (
), próximo ao ponto focal (
) e bem próximo ao espelho (
).
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre o movimento de uma imagem formada por um espelho esférico. A matéria envolvida é a óptica geométrica, especificamente as leis de formação de imagens em espelhos. Para resolver, vamos utilizar a fórmula dos espelhos esféricos e conceitos de movimento relativo entre objeto e imagem.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que a velocidade da imagem é dada por
.
Primeiro, precisamos lembrar a equação dos espelhos esféricos:
Onde:
-
é a distância do objeto ao espelho, -
é a distância da imagem ao espelho, -
é a distância focal do espelho.
Como o objeto está se movendo em direção ao espelho com velocidade
, temos que
está diminuindo com o tempo, ou seja,
.
Precisamos encontrar
.
Passo 3
Vamos diferenciar a equação dos espelhos esféricos em relação ao tempo para relacionar as velocidades:
Como
é constante, a derivada do lado direito é zero:
Passo 4
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Substituindo
:
Passo 5
Precisamos expressar
em termos de
e
para substituir na equação acima. Da equação dos espelhos esféricos:
Então:
Passo 6
Substituindo
na expressão para
:
Portanto:
Passo 7
Parte (b): O que ocorre quando
e o que significa o sinal negativo.
Quando
se aproxima de
:
- O denominador
tende a zero, o que faz com que tenda ao infinito. Isso indica que a imagem está se movendo muito rapidamente, praticamente no infinito, quando o objeto está muito próximo do ponto focal.
O sinal negativo em
indica a direção da velocidade da imagem em relação à do objeto. Especificamente:
- Se
é positivo (objeto se movendo em direção ao espelho), será negativo, indicando que a imagem se move na direção oposta ao objeto.
Passo 8
Parte ©: Determinar a velocidade da imagem para um espelho côncavo com
cm e
cm/s em diferentes posições do objeto.
Primeiro, calculamos a distância focal
para um espelho côncavo:
Agora, usamos a fórmula para
:
Vamos calcular para cada posição:
- Quando
cm (objeto longe):
- Quando
cm (próximo ao ponto focal):
- Quando
cm (bem próximo ao espelho):
Resposta
(a) A velocidade da imagem é
.
(b) Quando
, a velocidade da imagem tende ao infinito, indicando que a imagem está no infinito. O sinal negativo mostra que a imagem se move na direção oposta ao movimento do objeto.
© As velocidades da imagem são:
- Para
cm: cm/s - Para
cm: cm/s - Para
cm: cm/s
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